10.
Za datu duž naći dve nesamerljive duži, jednu nesamerljivu samo po dužini, a drugu nesamerljivu i u stepenu.
Neka je data duž A. Treba naći za A dve nesamerljive duži - jednu samo po dužini a drugu i u stepenu.
Zaista, uzmimo dva broja B i G koji nisu u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj prema kvadratnom broju tj. koji nisu slični površinski brojevi, i načinimo da budu B prema G kao kvadrat na A prema kvadratu na D, a to smo naučili. Na taj način je kvadrat na A samerljiv sa kvadratom na D. I pošto B prema G nije u razmeri kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, neće biti ni kvadrat na A prema kvadratu na D u razmeri kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Prema tome će A biti nesamerljivo sa D po dužini. Uzmimo za A i D srednju proporcionalu E. Tada je A prema D kao kvadrat na A prema kvadratu na E. Ali A je nesamerljivo sa D po dužini, pa će tada i kvadrat na A biti nesamerljiv sa kvadratom na E. Prema tome su A i E nesamerljive u stepenu.
Na ovaj način su za datu duž A pronađene dve nesamerljive duži D i E, nesamerljiva samo po dužini D, i nesamerljiva u stepenu, a očevidno i po dužini, E. [A to je trebalo dokazati].