100.

Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na manjoj (iracionali), ima za širinu četvrtu apotomu.

Neka je AB manja (iracionala), GD racionalna duž i na GD konstruisani pravougaonik GE jednak kvadratu na AB sa širinom GZ. Tvrdim da je GZ četvrta apotoma.
Zaista, neka je BH dodatak za AB. Tada su AH i HB nesamerljive u stepenu, zbir kvadrata na AH i HB je racionalan, a dvostruki pravougaonik obuhvaćen sa AH i HB je medijalan. I konstruišimo na GD pravougaonik GQ, jednak kvadratu na AH, sa širinom GK, i pravougaonik KL, jednak kvadratu na BH, sa širinom KM. Znači cela površina GL je jednaka zbiru kvadrata na AH i na HB. No zbir ovih kvadrata je racionalan, pa je racionalna i cela površina GL. A ona je konstruisana na racionalnoj duži GD i ima širinu GM. Znači da je racionalna i GM i samerljiva po dužini sa GD. I pošto je cela površina na GL jednaka zbiru kvadrata na AH i na HB, a površina GE jednaka kvadratu na AB, biće ostatak ZL jednak dvostrukoj površini pravougaonika sa stranama AH i HB. Sad prepolovimo ZM tačkom N i povucimo kroz tačku N pravu NX paralelnu svakoj od GD i ML. Znači svaka od površina ZX, NL jednaka je pravougaoniku sa stranama AH i HB. I pošto je dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB medijalan i jednak površini ZL, medijalna je i površina ZL. A konstruisana je na racionalnoj duži ZE sa širinom ZM. Prema tome je racionalna i širina ZM i nesamerljiva po dužini sa GD. I pošto je zbir kvadrata na AH i na HB racionalan, a dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB medijalan, biće zbir kvadrata na AH i na HB nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom sa stranama AH i HB. No zbir kvadrata na AH i na HB jednak je površini GL, a dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB - površini ZL, prema tome je nesamerljiva i površina GL sa površinom ZL. No GL je prema ZL kao GM prema MZ, zbog toga je duž GM nesamerljiva po dužini sa MZ. I obe su one racionalne; dakle duži GM i MZ su racionalne, samerljive samo u stepenu. Na ovaj način GZ je apotoma.
Tvrdim da je četvrta.
Zaista, pošto su duži AH i HB nesamerljive u stepenu biće nesamerljiv i kvadrat na AH sa kvadratom na HB. I jednaka je površina GQ kvadratu na AH, a površina KL kvadratu na HB. Prema tome je nesamerljiva i površina GQ sa površinom KL. No i na GQ je prema KL kao GK prema KM, usled toga je duž GK nesamerljiva po dužini sa KM. I pošto je za kvadrate na AH i na HB srednja proporcionala provugasonik sa stranama AH i HB, kvadrat na AH jednak površini GQ kvadrat na HB površini KL, a pravougaonik sa stranama AH i HB površini NL, biće za površine GQ i KL srednja proporcionala površina NL. Stoga je GQ prema NL kao NL prema KL. No GQ je prema NL kao GK prema NM, i NL prema KL kao NM prema KM. Prema tome je GK prema MN kao MN prema KM. Znači pravougaonik sa stranama GK i KM jednak je kvadratu na MN, tj. četvrtini kvadrata na ZM. Pošto su sad GM i MZ dve nejednake duži i na GM je konstruisan pravougaonik jednak četvrtini kvadrata na MZ sa vkadratnom dopunom, naime pravougaonik sa stranama GK i KM, i on deli GM na nesamerljive delove, biće kvadrat na GM veći od kvadrata na MZ za kvadrat na duži koja je nesamerljiva sa GM. A cela duž GM je samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži GD. Prema tome je GZ četvrta apotoma.
Na ovaj način, pravougaonik itd.