102.

Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na "duži koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno", ima za širinu šestu apotomu.

Neka je AB "duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno", GD racionalna duž, i na GD konstruisan pravougaonik GE jednak kvadratu na AB, sa širinom GZ. Tvrdim da je GZ šesta apotoma.
Zaista, neka je BH dodatak za AB. Tada su AH i HB duži nesamerljive u stepenu, zbir kvadrata na njima je medijalan i dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB medijalan i zbir kvadrata na AH i na HB nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom kome su strane AH i HB. I konstruišimo na GD površinu GQ jednaku kvadratu na AH sa širinom GK i površinu KA jednaku kvadratu na BH. Prema tome je cela površina GL jednaka zbiru kvadrata na AH i na HB. Znači i GL je medijalna površina. I konstruisana je na racionalnoj duži GD sa širinom GM, zbog toga je racionalna i duž GM i nesamerljiva po dužini sa GD. I pošto je cela površina GL jednaka zbiru kvadrata na AH i na HB, a površina GE jednaka kvadratu na AB, biće ostatak ZL jednak dvostrukom pravougaoniku sa stranama AH i HB. I dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB je medijalan, znači i površina ZL je medijalna. I konstruisana je na ZE a ima širinu ZM. Prema tome je racionalna i duž ZM i nesamerljiva po dužini sa GD. I pošto je zbir kvadrata na AH i na HB nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom kome su stranama AH i HB, i zbiru kvadrata na AH i HB je jednaka površini GL, a dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB jednak površini ZL, biće nesamerljiva i površina GL sa površinom ZL. No GL je prema ZL kao GM prema MZ, pa prema tome su nesamerljive po dužini i duži GM i MZ. I obe su racionalne. Na ovaj način su duži GM i MZ racionalne, samerljive samo u stepenu. A prema tome je GZ apotoma.
Tvrdim da je šesta.
Zaista, pošto ZL jednako dvostukom pravougaoniku sa stranama AH i HB, prepolovimo ZM tačkom N i povucimo kroz tačku N pravu NX paralelnu GD. Tada je svaka od površina ZX i NL jednaka pravougaoniku sa stranama AH i HB. I pošto su duži AH i HB nesamerljive u stepenu, biće i kvadrat na AH nesamerljiv sa kvadratom na HB. No kvadrat na AH je jednak površini GQ, a kvadrat na HB jednak površini KL. Na taj način je i površina GQ nesamerljiva sa površinom KL. No GQ je prema KL kao duž GK prema duži KM. Znači i duž GK je nesamerljiva sa duži KM. I pošto je za kvadrate na AH i na HB srednja proporcionala pravougaonik sa stranama AH i HB, kvadrat na AH jednak je površini GQ, kvadrat na HB jednak površini KL i pravougaonik sa stranama AH i HB jednak površini NL, biće i za površine GQ i KL srednja proporcionala površina NL. No GQ je prema NL kao NL prema KL. Iz istih razloga kvadrat na GM je veći od kvadrata na MZ za kvadrat na duži nesamerljivoj sa GM. I nijedna od njih nije samerljiva sa datom racionalnom duži GD. Na ovaj način GZ je šesta apotoma. A to je trebalo dokazati.