103.

Duž samerljiva po dužini sa apotomom je apotoma i to istoga reda.

Neka je AB apotoma i GD duž samerljiva po dužini sa AB. Tvrdim da je GD apotoma i istoga reda kao i AB.
Zaista, pošto je AB apotoma, neka BE bude njen dodatak. Tada su duži AE i EB racionalne i samerljive samo u stepenu. I načinimo tako da AB bude prema GD u istom odnosu kao što je BE prema DZ. No deo jednog celog je prema odgovarajućem delu drugog celog kao prvo celo prema drugom. I prema tome je cela duž AE prema celoj dužini GZ kao AB prema GD. No duž AB je samerljiva po dužini sa GD, pa je prema tome samerljiva i duž AE sa GZ, a BE sa DZ. I AE i EB su racionalne samerljive samo u stepenu, znači i duži GZ i ZD racionalne i samerljive samo u stepenu. (Na ovaj način, GD je apotoma.
Tvrdim da je ona istoga reda ka i AB)
Pošto je sad AE prema GZ kao BE prema DZ, biće, posle izmene reda srednjih članova, AE prema EB kao GZ prema ZD. Tada je vkadrat na AE veći od kvadrata na EB za kvadrat na duži koja je ili samerljiva sa AE ili nesamerljiva. Ako je kvadrat na AE veći od kvadrata na EB za kvadrat na duži samerljivoj sa AE, biće i kvadrat na GZ veći od kvadrata na ZD za kvadrat na duži samerljivoj sa GZ. I ako je duž AE samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži, biće samerljiva i GZ, a ako je samerljiva duž BE, biće i DZ, a ako nijedna od AE i EB nije samerljiva, neće biti nijedna ni od GZ i ZD. A ako je, kvadrat na AE veći od kvadrata na EB za kvadrat na duži nesamerljivoj sa AE, biće i kvadrat na GZ veći od kvadrata na ZD za kvadrat na duži nesamerljivoj sa GZ. I ako je AE samerljivo po dužini sa datom racionalnom duži, biće samerljiva i GZ, a ako je BE, biće i DZ, a ako nijedna od AE i EB, neće biti nijedna ni od GZ i ZD.
Na ovaj način GD je apotoma i to istoga reda kao i AB. A to je trebalo dokazati.