109.

Pri oduzimanju racionalne površine od medijalne pojavljuju se dve iragionalne duži, prva medijalna apotoma ili duž koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno.

Neka se od medijalne površine BG oduzme racionalna površina BD. Tvrdim, da se kao strana kvadrata, jednakog površini ostatka EG, pojavljuje jedna od dve iragionalne, ili prva medijalna apotoma, ili duž koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno.
Zaista, uzmimo racionalnu duž ZH i slično prethodnom konstruišimo površine. Tada sleduje da je duž ZQ racionalna i nesamerljiva po dužini sa ZH, a KZ je racionalna i samerljiva po dužini sa ZH. Prema tome su ZQ i ZK racionalne i samerljive samo u stepenu. Na taj način, KQ je apotoma i ZK je njen dodatak. I tada je kvadrat na QZ veći od kvadrata na ZK za kvadrat na duži ili samerljivoj sa QZ ili nesamerljivoj sa QZ.
Sad, ako je kvadrat na QZ veći od kvadrata na ZK za kvadrat na duži samerljivoj sa QZ i dodatak ZK je samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži ZH, duž KQ je druga apotoma. No duž ZH je racionalna. Prema tome strana kvadrata jednakog površini LQ, tj. površini EG, jednaka je prvoj medijalnoj apotomi.
A ako je kvadrat na QZ veći od kvadrata na ZK za kvadrat na duži nesamerljivoj sa QZ i dodatak ZK je samerljiv po dužini sa uzetom racionalnom duži ZH, biće KQ peta apotoma. I strana kvadrata, jednakog površini EG, jednaka je "duži koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno". A to je trebalo dokazati.