111.

Apotoma nije isto što i binomijala.

Neka je AB apotoma. Tvrdim, da AB nije isto što i binomijala.
Zaista, ako je moguće, neka bude isto. Uzmimo racionalnu duž DG i konstruišimo na GD pravougaonik GE jednak kvadratu na AB sa širinom DE. Pošto je AB apotoma, biće DE prva apotoma, a EZ njen dodatak. Prema tome su DZ i ZE racionalne duži samerljive samo u stepenu. I kvadrat na DZ je veći od kvadrata na ZE za kvadrat na duži samerljivoj sa DZ i DZ je samerljivo po dužini sa uzetom racionalnom duži DG. Zatim, pošto je AB binomijala, biće DE prva binomijala. Podelimo je na racionalne delove tačkom H i neka je veći deo DH. Tada su duži DH i HE racionalne, samerljive samo u stepenu. I Kvadrat na DH je veći od kvadrata na HE za kvadrat na duži samerljivoj sa DH i veći deo DH je samerljiv po dužini sa uzetom racionalnom duži DG. Znači DZ je samerljivo po dužini sa DH. Pa prema tome i ostatak HZ je samerljiv po dužini sa DZ. Pošto je sad DZ samerljivo sa HZ, a DZ je racionalno, biće racionalno i HZ. Pošto je DZ samerljivo po dužini sa HZ, nesamerljivo je po dužini DZ i EZ. Prema tome je nesamerljivo po dužini i ZH sa EZ. Dakle duži HZ i ZE su racionale samerljive samo u stepenu. Na ovaj način EH je apotoma. Ali ona je racionalna. A to je nemoguće.
Na ovaj način, apotoma nije isto što i binomijala. A to je trebalo dokazati.