112.

Kvadrat na racionalnoj duži, konstruisan na binomijali ima za širinu apotomu, čije su racionale samerljive sa racionalama binomijale i u istoj razmeri, i tako dobivena apotoma je istoga reda kao i binomijala.

Neka je A racionalna duž, a BG binomijala, čija je veća racionala LG, i kvadrat na A jednak pravougaoniku sa stranama BG i EZ. Tvrdim da je EZ apotoma čiji su delovi samerljivi sa GD i DB, i u istoj razmeri i da je EZ istoga reda kao i BG.
Zaista, neka je ponovo kvadrat na A jednak pravougaoniku sa stranama BD i H. Pošto je sad pravougaonik sa stranama BG i EZ jednak pravougaoniku sa stranama BD i H, biće GB prema BD kao H prema EZ. No GB je veće od BD, prema tome i H je veće od EZ. Neka je EQ jednako H. Tada GB prema BD kao QE prema EZ. I, posle odvajanja, GD je prema BD kao QZ prema ZE. Načinimo tako da bude QZ prema ZE ka ZK prema KE. I celo QK je prema celom KZ kao ZK prema KE, jer je jedan prethodni prema jednom narednom kao svi prethodni prema svima narednim. I ZK je prema KE kao GD prema DB. Znači, QK je prema KZ kao GD prema DB. No kvadrat na GD je samerljiv sa kvadratom na DB. Pa prema tome je samerljiv i kvadrat na QK sa kvadratom na KZ. I kvadrat na QK je prema kvadratu na KZ kao QK prema KE, ukoliko su tri duži QK, KZ i KE proporcionalne. Znači QK je samerljivo po dužini sa KE. Na taj način i QE je samerljivo po dužini sa EK. I pošto je vkadrat na A jednak pravougaoniku sa stranama EQ i BD, a kvadrat na A racionalan, biće racionalan i pravougaonik sa stranama EQ i BD. I konstruisan je na racionalnoj duži BD. Pa prema tome je racionalna i duž EQ i samerljiva po dužini sa BD. Na taj način i samerljiva sa njom EK je takođe racionalna i samerljiva po dužini sa BD. Pošto je sad GD prema DB kao ZK prema KE i GD i DB su samerljive samo u stepenu, biće i ZK i KE samerljive samo u stepenu. No duž KE je racionalan. Znači da je racionalna i duž ZK. Prema tome su duži ZK i KE racionalne, samerljive samo u stepenu. I ovaj način EZ je apotoma.
No kvadrat na GD je veći od kvadrata na DB za kvadrat na duži koja je ili samerljiva sa GD ili nesamerljiva.
Ako je kvadrat na GD veći od kvadrata na DB za kvadrat na duži samerljivoj sa GD, biće i kvadrat na ZK veći od kvadrata na KE za kvadrat na duži samerljivoj sa ZK. I ako je duž GD samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži, biće samerljiva i ZK, ako je BD samerljiva, biće samerljiva i KE, ako nije nijedna od GD i DB samerljiva, neće biti nijedna ni od ZK i KE.
A ako je kvadrat na GD veći od kvadrata na DB za kvadrat na duži nesamerljivoj sa GD, biće i kvadrat na ZK veći od kvadrata na KE za kvadrat na duži nesamerljivoj sa ZK. I ako je duž GD samerljiva po dužini sa datom racionalnom duž, biće samerljiva i duž ZK, ako je samerljiva BD, samerljiva je i KE, ako nije nijedna od GD i DB samerljiva, neće biti nijedna ni od ZK i KE. Prema tome je ZE apotoma, čije su racionale ZK i KE samerljive sa racionalama GD i DB binomijale, u istoj su razmeri i istoga reda kao i BG. A to je trebalo dokazati.