18.

Ako postoje dve nejednake duži i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram, koji je jednak četvrtini kvadrata na manjoj, i deli tu duž na delove nesamerljive po dužini, biće kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljiva po dužini sa većom duži. I ako je kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljiva po dužini sa većom duži, i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram, koji je jedank četvrtini kvadrata na manjoj, on (paralelogram) će deliti veću duž na delove nesamerljive po dužini.

Neka su A i BD dve nejednake duži i BG veća. I neka je na BG konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram jednak četvrtini kvadrata na A, i sa stranama BD i DG, a BD je nesamerljivo po dužini sa DG. Tvrdim, da je kvadrat na BG veći od kvadrata na A za kvadrat na duži nesamerljivoj sa BG.
Zaista, ako uradimo ono isto što i ranije, dokazaćemo na sličan način da je kvadrat na BG veći od kvadrata na A za kvadrat na ZD. Dokažimo sad da je BG nesamerljivo po dužini sa DZ. Zaista, pošto je BD nesamerljivo po dužini sa DG, biće nesamerljivo po dužini i BG sa GD. Ali DG je samerljivo sa zbirom BZ i DG, prema tome BG je nesamerljivo sa zbirom BZ i DG. Biće na taj način BG nesamerljivo po dužini i sa ostatkom ZD. Ali kvadrat na BG veći je od kvadrata na A za kvadrat na ZD. Na ovaj način je kvadrat na BG veći od kvadrata na A za kvadrat na duži ZD koja je nesamerljiva sa BG.
Dalje, neka je kvadrat na BG veći od kvadrata na A za kvadrat na duži nesamerljivoj sa BG, i neka je na BG konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram, koji je jednak četvrtini kvadrata na A, a sa stranama BD i DG. Treba dokazati da je BD nesamerljivo po dužini sa DG.
Zaista, posle iste pripreme, dokazuje se na sličan način da je kvadrat na BG veći od kvadrata na A za kvadrat na ZD. Ali kvadrat na BG je veći od kvadrata na A za kvadrat na duži nesamerljivoj sa BG. Prema tome BG je nesamerljivo po dužini sa ZD. Znači BG je nesamerljivo i sa ostatkom od zbira BZ i DG. Međutim, zbir BZ i DG je samerljiv po dužini sa DG. Pa prema tome je BG nesamerljivo po dužini sa DG. A posle rastavljaea i BD je nesamerljivo po dužini sa DG.
Na ovaj način, ako postoje dve nejednake duži, itd.