Lema
Naći takva dva kvadratna broja da i njihov zbir bude kvadratni broj.
Uzmimo dva broja AB i BG, oba ili parna ili neparna. Pošto je ostatak, kad se bilo od parnog broja oduzme paran broj bilo od neparnog broja oduzme neparan broj, paran broj, ostatak AG je paran broj. Prepolovimo AG tačkom D. Neka brojevi AB i BG budu ili slični površinski ili kvadratni, koji su isto tako slični površinski brojevi. Tada je proizvod od AB i BG zajedno sa kvadratom broja GD jednak kvadratu broja BD. Ali proizvod od AB i BG je kvadrat, pošto je dokazano da ako dva slična površinska broja pomnožena jedan drugim, proizvode nešto, ono što se dobija biće kvadrat. Na ovaj način su nađena dva kvadratna broja, naime proizvod od AB i BG i kvadrat broja GD, koji, posle sabiranja, proizvode kvadrat broja BD.
I jasno je da su takođe nađena dva kvadrata, kvadrat broja BD i kvadrat broja GD, od kojih je jedan veći od drugog za proizvod AB i BG, i da je taj proizvod isto tako kvadrat ako su AB i BG slični površinski brojevi. Ako oni nisu slični površinski brojevi, onda su nađena dva kvadrata, broja BD i broja DG, čija je razlika kvadrata jednaka proizvodu AB i BG, koji nije kvadrat. A to je trebalo dokazati.