Lema

Naći dva kvadratna broja čiji zbir nije kvadratni broj.

Zaista, neka je proizvod od AB i BG, kako smo naveli, kvadrat i neka je broj GA paran, pa prepolovimo GA tačkom D. Jasno je da je tada proizvod od AB i BG, kao kvadrat, zajedno sa kvadratom broja GD jednak kvadratu broja BD. Oduzmimo jedinicu DE. Posle toga je proizvod od AB i BG zajedno sa kvadratom broja GE manji od kvadrata broja BD. Sad tvrdim da proizvod AB i BG, kao kvadrat, zajedno sa kvadratom broja GE nije kvadrat.
Zaista, ako je kvadrat, onda je ili jednak kvadratu broja BE ili manji od kvadrata broja BE, no ni u kom slučaju nije veći, sem ako se jedinica deli. Neka je, prvo, ako je to moguće, proizvod od AB i BG sa kvadratom broja GE jednak kvadratu broja BE i neka je HA dvostruka jedinica DE. Pošto je ceo broj AG udvostručen broj GD i AH udvostručen broj DE, biće i ostatak HG udvostručen ostatak EG. I prema tome tačka E polovi HG. Tada je proizvod od HB i BG sa kvadratom broja GE jednak kvadratu broja BE. No i proizvod od AB i BG sa kvadratom broja GE jednak je, po pretpostavci, kvadratu broja BE. Znači proizvod od HB i BG sa kvadratom broja GE jednak je proizvodu od AB i BG sa kvadratom broja GE. Posle oduzimanja zajedničkog kvadrata broja GE zaključujemo da je AB jednako HB, a to je besmisleno. Znači proizvod od AB i BG zajedno sa kvadratom broja GD nije jednak kvadratu broja BE. Tvrdim da nije ni manji od kvadrata broja BE. Zaista, neka je, ako je to moguće, jednak kvadratu BZ i neka je QA udvostručen broj DZ. Tada izlazi da je QG udvostručen broj GZ. Znači tačka Z polovi GQ i iz istih razloga je proizvod od QB i BG zajedno sa kvadratom broja ZG jednak kvadratu broja BZB. A pretpostavili smo da je proizvod od AB i BG zajedno sa kvadratom broja GE jednak kvadratu BZ. Prema tome je proizvod od QB i BG zajedno sa kvadratom broja GZ jednak proizvodu od AB i BG zajedno sa kvadratom broja GZ, a to je besmisleno. Na ovaj način proizvod od AB i BG zajedno sa kvadratom broja GE neće biti manji od kvadrata broja BE. A dokazano je da nije ni jednak sa kvadratom broja BE. Prema tome proizvod od AB i BG zajedno sa kvadratom broja GE neće biti kvadrat. (Bez obzira na to što se i mnogim drugim putevima mogu pronaći brojevi pomenutih osobina, zaustavimo se na navedenom da ne bismo produžili raspravu koja je već i bez toga duga). A to je trebalo dokazati.