29.

Naći dve, samo u stepenu samerljive, takve racionalne duži da kvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je samerljiva po dužini sa većom.

Uzmimo neku racionalnu duž AB i dva takva kvadratna broja, GD i DE, da njihova razlika GE ne bude kvadrat; i nacrtajmo na AB polukrug AZB. Pa načinimo tako da DG bude prema GE kao kvadrat na BA prema kvadratu na AZ i spojmo Z sa B.
Pošto je sad kvadrat na AB prema kvadratu na AZ kao DG prema GE, znači da je razmera kvadrata na BA prema kvadratu na AZ jednaka razmeri broja DG prema broju GE. Prema tome je kvadrat na AB samerljiv sa kvadratom na AZ. No kvadrat na AB je racionalan, pa prema tome je racionalan i kvadrat na AZ, znači racionalna i duž AZ. Pošto DG prema GE nije u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, ni razmera kvadrata na BA prema kvadratu na AZ nije jednaka razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. A to znači da AB i AZ nisu samerljive po dužini. Na ovaj način AB i AZ su racionalne ali samerljive samo u stepenu. I pošto je DG prema GE kao kvadrat na BA prema kvadratu na AZ, biće, posle zamene jednog dela drugim, GD prema DE kao kvadrat na AB prema kvadratu na BZ. No GD je prema DE u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Znači i kvadrat na AB je prema kvadratu na BZ u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Biće prema tome AB samerljivo po dužini sa BZ. No kvadrat na AB jednak je zbiru kvadrata na AZ i ZB. Na ovaj način kvadrat na AB je veći od kvadrata na AZ za kvadrat na duži BZ, koja je samerljiva sa AB.
Na ovaj način su nađene dve, samo u stepenu samerljive, takve racionalne duži BA i AZ da kvadrat na većoj AB bude veći od kvadrata na manjoj AZ za kvadrat na duži BZ koja je samerljiva sa AB. A to je trebalo dokazati.