31.

Naći dve, samo u stepenu samerljive, medijale tako da budu strane racionalnog pravougaonika i da kvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži samerljivoj sa većom.

Uzmimo dve racionalne duži A i B, samerljive samo u stepenu, tako da kvadrat na većoj A bude veći od kvadrata na manjoj B za kvadrat na duži, koja je samerljiva po dužini sa većom. I neka je pravougaonik sa stranama A i B jednak kvadratu na G. No pravougaonik kome su strane A i B je medijalan, te znači medijalan i kvadrat na G, a sama duž G je medijala. Neka je, dalje, kvadrat na B jednak pravougaoniku sa stranama G i D. Ali kvadrat na B je racionalan, znači i pravougaonik sa stranama G i D racionalan. I pošto je A prema B kao pravougaonik sa stranama A i B prema kvadratu na B, a pravougaonik sa stranama A i B jednak kvadratu na G, usto kvadrat na B jednak je pravougaoniku sa stranama G i D, biće A prema B kao kvadrat na G prema pravougaoniku sa stranama G i D. No kvadrat na G je prema pravougaoniku sa stranama G i D kao G prema D. I na ovaj način A je prema B kao G prema D. No A je samerljivo sa B samo u stepenu, pa je prema tome i G samerljivo sa D samo u stepenu. I G je medijala, znači i D je medijala. I pošto je A prema B kao G prema D, i kvadrat na A je veći od kvadrata na B za kvadrat duži koja je samerljiva sa A, biće i kvadrat na G veći od kvadrata na D za kvadrat duži koja je samerljiva sa G.
Na ovaj način su nađene dve medijale G i D, samerljive samo u stepenu, koje su strane racionalnog pravougaonika i kvadrat na G je veći od kvadrata na D za kvadrat na duži samerljivoj po dužini sa G.
Slično se dokazuje i za duž nesamerljivu sa G, ako je kvadrat na A veći od kvadrata na B za kvadrat na duži nesamerljivoj sa A.