33.

Naći takve dve duži, nesamerljive u stepenu, da površina sastavljena od kvadrata nanjima bude racionalna, a pravougaonik obuhvaćen tim dužima medijalan.

Uzmimo dve racionalne duži AB i BG, samerljive samo u stepenu, i takve da je kvadrat na većoj AB veći od kvadrata na manjoj BG za kvadrata na duži nesamerljivoj sa većom, prepolovimo BG tačkom D, i konstruišemo na AB paralelogram, jednak kvadratu na svakoj od BD i DG, tako da njihova dopuna bude u obliku kvadrata; neka to bude pravouganik sa stranama AE i EB, nacrtajmo na AB polukrug AZB i povucimo EZ normalno na AB i spojimo Z sa A i sa B.
Pošto su AB i BG dve nejednake duži i kvadrat na AB veći od kvadrata na BG za kvadrat na duži nesamerljivoj sa AB, i na AB je konstruisan paralelogram sa dopunom u obliku kvadrata, jednak četvrtini kvadrata na BG, tj. jednak kvadratu na polovini BG, i to je pravougaonik sa stranama AE i EB, - biće AE nesamerljivo sa EB. I kako je AE prema EB kao pravougaonik sa stranama BA i AE prema pravougaoniku sa stranama AB i BE, a pravougaonik sa stranama BA i AE jednak je kvadratu na AZ, i pravougaonik sa stranama AB i BE jednak je kvadratu na BZ biće kvadrat na AZ nesamerljiv sa kvadratom na ZB, a AZ i ZB su nesamerljive u stepenu. I pošto je duž AB racionalna biće racionalan i kvadrat na duži AB. Pa prema tome je racionalan i zbir kvadrata na AZ i na ZB. I pošto je dalje pravougaonik sa stranama AE i EB jednak kvadratu na EZ a prema pretpostavci, taj pravougaonik jednak je i kvdratu na BD, biće prema tome ZE jednako BD. Znači BG je dvostruka duž ZE. Prema tome biće pravougaonik sa stranama AB i BG samerljiv sa pravougaonikom sa stranama AB i EZ. No pravougaonik sa stranama AB i BG je medijalan, pa će biti medijalan i pravougaonik sa stranama AB i EZ. Ali pravougaonik sa stranama AB i EZ jednak je pravougaoniku sa stranama AZ i ZB. A dokazano je da je racionalna i površina kvadrata na njima. Na ovaj način su nađene i ove duži, AZ i ZB, takve da površina sastavljena od kvadrata na njima bude racionalna, a pravouganik obuhvaćen tim dužima medijalan. A to je trebalo i dokazati.