38.

Ako se saberu dve duži-medijale, samerljive samo u stepenu, koje obuhvataju medijalan pravougaonik, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove druga bimedijala.

Saberimo dve medijale AB i BG, samerljive samo u stepenu, koje obuhvataju medijalan pravougaonik. Tvrdim da je duž AG iracionalna.
Zaista, uzmimo racionalnu duž DE i konstruišimo na DE pravougaonik DZ širine DH jednak kvadratu na AG. Pošto je kvadrat na AG jednak zbiru kvadrata na AB i na BG sa udvostručenim pravougaonikom kome su strane AB i BG, konstruišimo na DE pravougaonik E jednak zbiru kvadrata na AB i na BG. Ostatak Z biće jednak udvostručenom pravougaoniku sa stranama AB i BG. I pošto je svaka od AB i BG medijala, biće medijalni i kvadarti na AB i na BG. A po pretpostavci je medijalan i udvostručeni pravougaonik sa stranama AB i BG. No zbir kvadrata na AB i na BG jednak je pravougaoniku E, a udvostručeni pravougaonik sa stranama AB i BG jednak pravougaoniku E i Z medijalan. A konstruisani su na racionalnoj duži DE. Znači svaka od duži D i H racionalna je i nesamerljiva po dužini sa DE. Pošto je sad AB nesamerljivo po dužini sa BG i AB je prema BG kao kvadrat na AB prema pravougaoniku sa stranama AB i BG, biće kvadrat na AB nesamerljiv sa pravougaonikom sa stranama AB i BG. Ali sa kvadratom na AB je samerljiva površina sastavljena od kvadrata na AB i na BG, a sa pravougaonikom sa stanama AB i BG samerljiv je udvostručeni pravougaonik sa stranama AB i BG. Prema tome je površina sastavljena od kvadrata na AB i na BG nesamerljiva sa udvostručenim pravougaonikom kome su strane AB i BG. No zbir kvadrata na AB i na BG jednak je pravougaoniku E, a dvostruki pravougaonik sa stranama AB i BG jednak je pravougaoniku Z. Naovaj način je E pravougaonik nesamerljiv sa Z, te je, prema tome, duž D nesamerljiva sa H po dužini. Dakle, D i H su racionalne duži samerljive samo u stepenu. Stoga je DH iracionalna duž. No pravougaonik obuhvaćen sa racionalnom i iracionalnom duži je iracionalan. Prema tome je i površina DZ iracionalna, a iracionalna je i strana njoj jednakog kvadrata. No strana kvadrata jednakog površini DZ je AG, pa je prema tome iracionalna i duž AG. Neka se ona zove druga bimedijala.