39.
Ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepenu, za koje je zbir kvadrata na njima racionalan, a pravougaonik obuhvaćen njima medijalan, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove veća.
Saberimo dve duži AB i BG, nesamerljive u stepenu, pod navedenim uslovima. Tvrdim da je duž AG iracionalna.
Zaista, pošto je peavougaonik sa stranama AB i BG medijalan, biće i dvostruki pravougaonik sa stranama AB i BG medijalan. No zbir kvadrata na AB i na BG racionalan. Znači udvostručeni pravougaonik kome su strane AB i BG je nesamerljiv sa zbirom kvadrata na AB i na BG. Prema tome je i zbir kvadrata na AB i na BG zajedno sa udvodtručenim pravougaonikom kome su strane AB i BG, a to je kvadrat na AG, nesamerljiv sa zbirom kvadrata na AB i na BG, (a zbir kvadrata na AB i na BG je racionalan). Na ovaj način je kvadrat na AG iracionala,te je, prema tome, iracionalna i duž AG. Neka se ona zove "veća".