Lema

Da se navedene iracionalne duž samo na jedan način dele na duži, od kojih se, kao od sabiraka, obrazuju izneseni tipovi iracionalnosti, dokazaćemo posle ove male leme.

Uzmimo duž AB i podelimo je na nejednake delove tačkama G i D, predpostavljajući da je AG veće od DB. Tvrdim da je zbir kvadrata na AG i na GB veći od zbira kvadrata na AD i na DB.
Zaista, prepolovimo AB tačkom E. Pošto je AG veće od DB, biće, posle oduzimanja zajedničkog dela DG, ostatak AD veći od ostatka GB. No AE jednako je EB, pa je prema DE manje od EG. I na taj način tačke G i D nisu pođednako udaljene od sredine E. I pošto je pravougaonik sa stranama AG i GB zajedno sa kvadratom na EG jednak kvadratu aa EB, a i pravougaonik sa stranama AD i DB zajedno sa kvadratom na DE jednak kvadratu na EB, biće pravougaonik sa stranama AG i GB zajedno sa kvadratom na EG jednak pravougaoniku sa stranama AD i DB zajedno sa kvadratom na DE. Od ovih je kvadrat na DE manji od kvadrata na EG. Prema tome je i ostatak, pravougaonik sa stranama AG i GB, manji od pravougaonika sa stranama AD i DB. A i udvostručeni pravougaonik sa stranama AG i GB manji je od udvostručenog pravougaonika sa stranama AD i DB. I na taj način ostatak, zbir kvadrata na AG i na GB, biće veći od zbira kvadrata na AD i na DB. A to je trebalo dokazati.