48.
Naći prvu binomijalu.
Uzmimo dva broja AG i GB i to tako da je razmera njihovog zbira AB prema BG kao kvadratnog broja prema kvadratnom broju, a da razmera prema GA nije kao kvadratnog broja prema kvadratnom broju, i uzmemo neku duž D za racionalnu i neka je EZ samerljivo po dužini sa D. Na taj način i EZ je racionalno. I uradimo tako da se broj BA odnosi prema broju AG kao kvadrat na EZ prema kvadratu na ZH. Kako je razmera AB prema AG razmera broja prema broju, biće i razmera kvadrata na EZ prema kvadratu na ZH razmera broja prema broju. Prema tome je kvadrat na EZ samerljiv sa kvadratom na ZH. A kako je EZ racionalno, biće racionalno i ZH. I pošto BA ne stoji prema AG u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, neće biti ni kvadrat na EZ prema kvadratu na ZH u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Znači EZ je nesamerljivo po dužini sa ZH. Na ovaj način EZ i ZH su racionalne, ali samerljive samo u stepenu. Znači EH je binomijala.
Tvrdim da je prva.
Zaista, pošto je broj BA prema AG kao kvadrat na EZ prema kvadratu na ZH, a BA je veći od AG, biće i kvadrat na EZ veći od kvadrata na ZH. Neka sad kvadrat na EZ bude jenadk zbiru kvadrata na ZH i na Q. I pošto je BA prema AG kao kvadrat na EZ prema kvadratu na ZH, biće posle permutovanja AB prema BG kao kvadrat na EZ prema kvadratu na Q. Ali AB je u razmeri prema B kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Prema tome i kvadrat na EZ stoji u razmeri prema Q kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Na ovaj način EZ je samerljivo po dužini sa Q. I prema tome je kvadrat na EZ veći od kvadrata na ZH za kvadrat na duži koja je samerljiva sa većim delom. Duži EZ i ZH su racionalne i EZ je samerljivo po dužini sa D.
Na ovaj način EH je prva binomijala. A to je trebalo dokazati.