50.

Naći treći binomijalu.

Uzmimo dva broja AB prema BG kao kvadratnog broja prema kvadratnom broju, i da razmera prema AG nije kao kvadratnog broja prema kvadratnom broju i uzmimo neki drugi, ne kvadratni, broj D i neka se on ne nalazi ni prema jednom od brojeva BA i AG u razmeri kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, i neka bude data racionalna duž D i uradimo tako da je D prema AB kao kvadrat na E prema kvadratu na ZH. Na ovaj način kvadrat na E je samerljiv sa kvadratom na ZH. A E je racionalno, pa prema tome je racionalno i ZH. I pošto D ne stoji prema broju AB u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, neće biti ni kvadrat na E prema kvadratu na ZH u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Na ovaj način E je nesamerljivo po dužini sa ZH. Zatim uradimo tako da je broj BA prema broju AG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ. Tada je kvadrat na ZH samerljiv sa kvadratom na HQ. A kad je ZH racionalno, biće racionalno i HQ. I pošto BA ne stoji u razmeri prema AG kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, neće biti ni kvadrat na ZH prema kvadratu na QH u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Znači ZH je nesamerljivo po dužini sa HQ. Na ovaj način su ZH i HQ racionalne, ali samerljive samo u stepenu. Dakle, ZQ je binomijala.
Tvrdim da je treća.
Zaista, pošto je D prema AB kao kvadrat na E prema kvadratu na ZH, a BA je prema AG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće, zbog jednakoudaljenosti, D prema AG kao kvadrat na E prema kvadratu na HQ. Ali D prema AG nije u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, pa neće biti ni kvadrat na E prema kvadratu na HQ u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Na ovaj način E je nesamerljivo po dužini sa HQ. I pošto je BA prema AG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće kvadrat na ZH veći od kvadrata na HQ. Neka je sad kvadrat na ZH jednak zbiru kvadrata na HQ i na K. Znači, posle permutovanja, AB je prema BG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na K. Ali AB je u razmeri prema BG kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Tada je i kvadrat na ZH u razmeri prema kvadratu na K kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Na ovaj način ZH je nesamerljivo po dužini sa K. I prema tome je kvadrat na ZH veći od kvadrata na HQ za kvadrat na duži koja je samerljiva sa većim delom. Duži ZH i HQ su racionalne samerljive samo u stepenu i nijedna od njih nije samerljiva po dužini sa E.
Na ovaj način, ZQ je treća binomijala. A to je trebalo dokazati.