52.
Naći petu binomijalu.
Uzmimo dva broja AG i GB i to tako da razmera AB prema svakom od njih nije razmera kvadratnog broja prema kvadratnom broju, i neka bude data racionalna duž D i neka je EZ samerljivo (po dužini) sa D. Na taj način i EZ racionalno. I uradimo tako da se broj GA odnosi prema AB kao kvadrat na EZ prema kvadratu na ZH. Kako broj GA nije u razmeri prema broju AB kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, neće biti ni kvadrat na EZ prema kvadratu na ZH u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Na ovaj način su EZ i ZH racionalne, ali samerljive samo u stepenu. Znači EH je binomijala.
Tvrdim da je peta.
Zaista, pošto je GA prema AB kao kvadrat na EZ prema kvadratu na ZH, biće, obrnuto, BA prema AG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na ZE. Prema tome je kvadrat na HZ veći od kvadrata na ZE. Neka je sad kvadrat na HZ jednak zbiru kvadrata na EZ i na Q. Znači, posle permutovanja, broj AB je prema BG kao kvadrat na HZ prema kvadatu na Q. Ali AB nije u razmeri prema BG kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Neće biti ni kvadrat na ZH prema kvadratu na Q u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Znači ZH je nesamerljivo po dužini sa Q. Prema tome je kvadrat na ZH veći od kvadrata na ze za kvadrat na duži koja je nesamerljiva sa većim delom. Duži HZ i ZE su racionalne i samerljive samo u stepenu i manji deo EZ je samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži D.
Na ovaj način, EH je peta binomijala. A to je trebalo dokazati.