53.

Naći šestu binomijalu.

Uzmimo dva broja AG i GB i to tako da razmera AB prema svkaom od njih nije razmera kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Neka D bude neki broj koji nije kvadratan i koji se ne nalazi ni prema jednom od brojeva BA i AG u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, i neka bude data racionalne duž E, i uradimo tako da je D prema AB kao kvadrat na E prema kvadratu na ZH. Prema tome je kvadrat na E samerljiv sa vkadratom na ZH. A kako je E racioanlno, biće i ZH racioanlno. I pošto se D prema AB ne nalazi u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, neće biti ni kvadrat na E prema kvadratu na ZH u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Na ovaj način E je nesamerljivo po dužini sa ZH. Uradimo zatim tako da BA bude prema AG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ. Tada je kvadrat na ZH samerljiv sa kvadratom na QH. Znači kvadrat na QH je racioonalan, a prema tome je racionalno i QH. I pošto se BZ prema AG ne nalazi u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, neće biti ni kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Na ovaj način ZH je samerljivo po dužini sa HQ. Duži ZH i HQ su racionalne, ali samerljive samo u stepenu. Znači ZQ je binomijala.
Treba dokazati da je šesta.
Zaista, pošto je D prema AB kao kvadrat na E prema kvadratu na ZH i BA prema AG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće, zbog jednakoudaljenosti, D prema AG kao kvadrat na E prema kvadratu na HQ. Ali D prema AG se ne nalazi u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, te neće biti ni kvadrat na E prema kvadratu na HQ u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Prema tome je E nesamerljivo po dužini sa HQ. A dokazano je da je ono nesamerljivo po dužini i sa ZH. Na ovaj način je svaka od ZH i HQ nesamerljiva po dužini sa E. I pošto je BA prema AG kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće kvadrat na ZH veći od kvadrata na HQ. Neka sad kvadrat na ZH bude jednak zbiru kvadrata na HQ i na K. Znači, posle permutovanja, AH prema BG biće kao kvadrat na ZH prema kvadratu na K. Ali AB prem BG nije u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Dakle, neće biti ni kvadrat na ZH prema kvadratu na K u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Znači ZH je nesamerljivo po dužini sa K. I prema tome je kvadrat na ZH veći od kvadrata na HQ za kvadrat na duži koja je nesamerljiva sa većim delom. Duži ZH i HQ su racioanlne i samerljive samo u stepenu, i nijedna od njih nije samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži E.
Na ovaj način, ZH je šesta binomijala. A to je trebalo dokazati.