56.
Ako su racionalna duž i treća binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku iracionalan i to druga bimedijala.
Neka je površina ABGD obuhvaćena racionalnom duži AB i trećom binomijalom AD podeljenom na delove tačkom E, pri čemu je veći deo AE. Tvrdim, da je strana kvadrata sa površinom jednakom ABGD iracionalna i to druga bimedijala.
Zaista, izvršimo iste konstrukcije kao i ranije. Pošto je AD treća binomijala, biće AE i ED racionalne duži samerljive samo u stepenu, i kvadrat na AE veći od kvadrata na ED za vkadrat na duži koja je samerljiva sa AE i nije deo od AE i ED nije samerljiv po dužini sa AB. Tada se, slično prethodnom, dokazuje da je MX strana kvadrata sa površinom jednakom površini AG i da su MN i NX medijale samerljive samo u stepnu. Pa prema tome je MX bimedijala.
Treba dokazati da je ona druga bimedijala.
Pošto je DE nesamerljivo po dužini sa AB, tj. sa EK, a DE je samerljivo sa EZ, biće EZ nesamerljivo po dužini sa EK. No one su racionalne. Znači, duži ZE i EK su racionalne samerljive samo u stepenu. Prema tome je medijalna površina EL, a i MP. Ali pravougaonik MP ima strane jednake MN i NX. Prema tome je medijalan i pravougaonik sa stranama MN i NX.
Na ovaj način je MX druga bimedijala. A to je trebalo dokazati.