57.

Ako su racionalna duž i četvrta binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku iracionalna i to takozvana veća.

Neka je površina AG obuhvaćena racionalnom duži AB i četvrtom binomijalom AD, podeljenom na delove tačkom E, pri čemu je veći deo AE. Tvrdim, da je strana kvadrata sa površinom jednakom AG iracionalna i to takozvana veća.
Zaista, pošto je AD četvrta binomijala, biće AE, ED racionalne duži samerljive samo u stepenu i kvadrat na AE veći od kvadrata na ED za vkadrat na duži, koja je nesamerljiva sa AE, i AE samerljiva po dužini sa AB. Prepolovimo DE tačkom Z i konstruišimo na AE paralelogram sa stranama AH i HE jednak površini kvadrata na EZ; tada je AH nesamerljivo po dužini sa HE. Povucimo paralelno sa AB prave HQ, EK i ZD i uradimo i sve ostalo kao i ranije. Jasno je da je MX iracionalna duž, takozvana veća. Pošto je AH nesamerljiva po dužini sa EH, biće i površina AQ nesamerljiva sa HK, tj. SN sa Np. Prema tome su MN i NX nesamerljive u stepenu. I pošto je AE samerljivo po dužini sa AB, biće AK racioanlan površina. A kako je ona jednaka zbiru kvadrata na MN i NX, racionalan je prema tome i zbir kvadrata na MN i NX. I pošto je DE nesamerljivo po dužini sa AB, tj. sa EK, ali DE je samerljivo sa EZ, bićE EZ nesamerljivo po dužini sa EK. Na ovaj način su EK i EZ racionalne i samerljive samo u stepenu. Prema tome je površina LE, tj. MP, medijalna. A obuhvaćena je ona sa MN i NX, pa zbog toga je medijalna i površina pravougaonika sa stranama MN i NX. I zbir kvadrata na MN i NX, je racionalan, MN i NX su nesamerljive u stepenu. No ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepenu, a zbir kvadrata na njima je racionalan, a pravougaonik obuhvaćen njima medijalan, biće duž iracionalna, takozvana "veća".
Na ovaj način, MX je racionalna, takozvana "veća"; kvadrat na njoj je jednak površini AG. A to je trebalo dokazati.