66.

Duž samerljiva po dužini sa binomijalom i sama je binomijala istog reda.

Neka je AB binomjala i neka je duž GD samerljiva po dužini sa AB. Tvrdim, da je GD binomijala i to istog reda kao i AB.
Zaista, pošti je AB binomijala, podelimo je tačkom E na delove (racionalne) i neka veći deo bude AE. Prema tome su AE i EB racionalne duži, samerljive samo u stepenu. Uradimo sada tako da bude AB prema GD kao AE prema GZ. Biće tada i ostatak EB prema ostatku EB prema ostaku ZD kao AB prema GD. No AB je samerljivo po dužini sa GD, pa će i AE biti samerljivo sa GZ i EB sa ZD. A kako su AE i EB racionalne, biće racionalne i GZ i ZD. I pošto je AE prema GZ kao EB prema ZD, biće, posle permutovanja AE prema EB kao GZ prema ZD. No GZ i ZD su samerljive samo u stepenu, a pri tome su racionalne. Na ovaj način GD je binomijala.
Tvrdim da je ona istog reda kao i AB.
Zaista, kvadrat na AE je veći od kvadrata na EB za kvadrat na duži koja je ili samerljiva sa AE ili nesamerljiva sa njom. Neka je sada kvadrat na AE veći od kvadrata na EB za kvadrat na duži koja je samerljiva sa AE; biće i kvadrat na GZ veći od kvadrata na ZD za kvadrat na duži koja je samerljiva sa GZ. I ako je AE samerljiva sa odmerenom racionalnom duži, biće samerljiva i GZ sa istom duži, usled toga svaka je od AB i GD prva binomijala tj. istog su reda. A ako je EB samerljiva sa odmerenom racionalnom duži, biće samerljiva ZD sa istom duži i usled tog a su ponovo AB i GD istog reda, jer je svaka od njih binomijala drugog reda. A ako nijedna od AE i EB nije samerljiva sa odmernom racionalnim duži neće biti nijedna od GZ u ZD samerljiva sa tom duži i svaka je treća binomijala. Ako je kvadrat na AE veći od kvadrata na EB za kvadrat na duži koja je nesamerljiva sa AE biće i kvadrat na GZ veći od kvadrata na ZD za kvadrat na duži koja je nesamerljiva sa GZ. I ako je AE samerljiva sa odmerenom racionalnim duži, biće i GZ samerljiva sa njom, i svaka je četvrta binomijala. A ako su EB i ZD samerljive svaka je peta. Ako nijedna od AE i EB nije samerljiva, a i od GZ i ZD nijedna nije samerljiva sa odmerenom recionalnom duži, svaka je šesta binomijala.
Na ovaj način, duž samerljiva sa binomijalom je i sama binomijala šestog reda.