73.

Ako se od racionalne duži oduzme racionalna duž, koja je samerljiva sa celom samo u stepenu, biće ostatak iracionalan. Neka se on zove apotoma.

Neka se od racionalne duži AB oduzme racionalna duž BG samerljiva sa celom samo u stepenu. Tvrdim, da je ostatak AG iracinalan, tzv. apotoma.
Zaista, pošto je AB nesamerljivo po dužini sa BG, a AB je prema BG kao kvadrat na AB prema pravougaoniku kome su strane AB i BG, biće i kvadrat na AB nesamerljiv sa pravougaonikom kome su strane AB i BG. Ali sa kvadrato na AB je samerljiv zbir kvadrata na AB i na BG, a sa pravougaonikom kome su strane AB i BG samerljiv je dvostruki pravougaonik sa istim stranama. I pošto je zbir kvadrata na AB i na BG jednak zbiru dvostrukog pravougaonika sa stranama AB i BG i kvadrata na GA, biće zbir kvadrata na AB i na BG nesamerljiv sa ostatkom, kvadratom na AG. No kvadrati na AB i na BG su racionalni, znači AG je iracionalno. I neka se to zove apotoma. A to je trebalo dokazati.