75.

Ako se od medijale oduzme medijala, samerljiva sa celom samo u stepenu, koja sa celom obuhvata medijalan pravougaonik, biće ostatak iracionalan. Neka se on zove druga apotoma medijale.

Neka se od medijale AB oduzme medijala GB, samerljiva sa celom AB samo u stepenu, koja sa celom obuhvata medijalan pravougaonik sa stranama AB i BG. Tvrdim da je ostatak AB iracionalan. Neka se on zove druga apotoma medijale.
Zaista, odmerimo racionalnu duž DI i konstruišimo na DI pravougaonik jednak zbiru kvadrata na AB i BG širine DH, a zatim na DI konstruišimo pravougaonik DQ širine DZ. Biće tada ostatak ZE jednak kvadratu na AG. I pošto su kvadrati na AB i BG medijalni i samerljivi, mediojalna je i površina DE. I konstruisana je ona na racionalnoj duži sa širinom DH. Prema tome je racionalna i DH, i samerljiva po dužini sa DH. Zatim, pošto je pravougaonik kome su strane AB i BG medijalan, biće i dvostruki pravougaonik kome su strane AB i BG medijalan. I on je jednak DQ. Znači i DQ je medijalan. A konstruisan je na racionalnoj duži DI sa širinim DZ. Prema tome je racionalna i duž DZ i nesmerljiva po dužini sa DI. I pošto su AB i BG samerljive samo u stepenu, biće AB nesamerljiva sa BG po dužini. Znači i kvadrat na AB nesamerljiv je sa pravougaonikom kome su strane AB i BG. Ali sakvadratom na AB je samerljiv zbir kvadrata na AB i na BG, a sa pravougaonikom kome su strane AB i BG dvostruki pravougaonik sa stranama AB i BG. A tada je dvostruki pravougaonik kome su strane AB i BG nesamerljiv sa zbirom kvadrata na AB i na BG. Ali zbiru kvadrata na AB i na BG jednaka je površina DE, a dvostrukom pravougaoniku kome su strane AB i BG površina DQ. Prema tome je površina DE nesamerljiva sa DQ. No DE je prema DQ kao HD prema DZ. Znači da je i HD nesamerljiva sa DZ. I one su iracionalne. Znači, HD i DZ su racionalne i samerljive samo u stepenu. Prema tome je ZD je apotoma. A DI je racionalna. Ali površina obuhvaćena racionalnom iracionalnom duži je racionalna i strana kvadrata jednakog toj površini je iracionalna. Strana kvadrata jednakog ZE je AG. Prema tome je AG iracionalna. Neka se zove druga apotoma medijale. A to je trebalo dokazati.