78.

Ako se od duži oduzme duž nesamerljiva u stepenu sa celom, a zbir kvadrata na njoj i na celoj je medijalan i dvostruki pravougaonik obuhvaćen istim dužima medijalan, a zbir kvadrata na tim dužima je nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom istih strana, biće ostatak iracionalan.

Neka se on zove "duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno"
FOOTNOTEU vezi sa primedbom u prethodnoj teoremi navodimo i ovde opširniji naziv: "Strana kvadrata jednakog razlici dve medijalne površine".}.
Neka se od duži AB oduzme duž, nesamerljiva u stepenu sa AB i neka ispunjava navedene uslove. Tvrdim, da je ostatak AG iracionalan ineka se zove "duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno".
Zaista, odmerimo racionalnu duž DI i neka površina DE, konstruisana na DI, i jednaka zbiru kvadrata na AB i na BG obrazuje širinu DH; oduzmimo površinu DQ (sa širinom DZ), jednaku dvostrukom pravougaoniku kome su strane AB i BG. Tada je ostatak,pravougaonik ZE, jednak kvadratu na AG. Prema tome AG je strana kvadrata jednakog površini ZE. I pošto je zbir kvadrata na AB i na BG medijalan i jednak površini DE, biće i površina DE medijalna. I ona je konstruisana na racionalnoj duži DI i obrazuje širinu DH. Zbog toga je DH racionalna i nesamerljiva sa DI po dužini. Zatim, pošto je dvostruki pravougaonik kome su strane AB i BG medijalan, a on je jednak površino DQ, medijalna je i površina DQ. I konstruisana na DI ona obrazuje širinu DZ. Prema tome je racionalna i DZ i nesamerljiva po dužini sa DI. I pošto je nesamerljiv zbir kvadrata na AB i na BG sa dvostrukim pravougaonikom kome su strane AB i BG,biće nesamerljiva i površina DE sa DQ. No DE je prema DQ kao DH prema DZ. Znači, nesamerljiva je DH sa DZ. A obe su racionalne. Prema tome su HD i DZ racionalne i samerljive samo u stepenu. Dakle, ZH je apotoma. A ZQ je racionalna. Pravougaonik obuhvaćen racionalnom duži i apotomom je iracinalan, i strana kvadrata jednakog pravougaoniku iracionalna. No strana kvadrata jednakog pravougaoniku ZE je AG. Na ovaj način AG je iracionalna. Neka se zove "duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno". A to je trebalo dokazati.