82.
"Manjoj" se može dodati jedna jedina duž, u stepenu nesamerljiva sa celom, koja, zajedno sa celom, obrazuje racionalan zbir kvadrata na tim dužima, i obuhvata sa njom medijalan pravougaonik.
Neka je AB "manja" (iracionalnost) i BG dodata joj duž. Znači AG i GB su nesamerljive u stepenu, koje daju zbir kvadrata na njima racionalan i obuhvataju dvostruki pravougaonik medijalan. Tvrdim, da se ne može dodati duži AB nikakva druga duž koja zadovoljava iste uslove.
Zaista, ako može, neka se doda duž DB. Znači AD i DB su diž, nesamerljive u stepenu, koje obrazuju traženo. I za koliko je zbir kvadrata na AD i na DB veći od zbira kvadrata na AG i na GB, za toliko je veći i dvostruki pravougaonik kome su strane AD i DB od dvostrukog pravougaonika kome su strane AG i GB. I zbir kvadrata na AD i na DB veći je od zbira kvadrata na AG i na GB za racionalnu veličinu, jer su oba zbir racionalni. Onda je i dvostruki pravougaonik sa stranama AD i DB veći od dvostrukog pravougaonika sa stranama AG i GB za racionalnu veličinu, a to je nemoguće, jer su oba medijalna.
Na ovaj način, "manjoj" se može dodati jedna jedina duž, u stepenu nesamerljiva sa celom, koja zajedno sa celom, obrazuje racionalan zbir kvadrata ni tim dužima, i obuhvata sa njom medijalan pravougaonik. A to je trebalo dokazati.