83.
"Duži koja sa racionalnom obrazuje medijalno" se može dodati jedna jedina duž, u stepenu nesamerljiva sa celom, koja, zajedno sa celom, obrazuje zbir kvadrata na tim dužima medijalan, a obuhvata sa njom provougaonik racionalan.
Neka je AB "duž koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno" i BG duž koja joj se dodaje. Znači AG i GB su nesamerljive duži, koje zadovoljavaju navedene uslove. Tvrdim da se ne moe dodati duži AB nikakva druga duž koja zadovoljava iste uslove.
Zaista, ako može, neka se doda duž BD. Znači AD i DB su duži, nesamerljive u stepenu, koje obrazuju traženo. I sad, za koliko je zbir kvadrata na AD i na DB veći od zbira kvadrata na AG i na GB, za toliko je viće dvostruki pravougaonik kome su strane AD i DB od dvostrukog pravougaonika kome su strane AG i GB, što odgovara prethodnom, a dvostruki pravougaonik sa stranama AD i DB je veći od dvostrukog pravougaonika sa stranama AG i GB za racionalnu veličinu, jer su oba racionalna. Prema tome je zbir kvadrata na AD i na DB veći od zbira kvadrata na AG i na GB za racionalnu veličinu, a to je nemoguće, jer su oba medijalna.
Na ovaj način, duži AB se ne može dodati nikakva druga duž, nesamerljiva u stepenu sa celom, koja zajedno sa celom zadovoljava navedene uslove. Prema tome se može dodati jedna jedina. A to je trebalo dokazati.