86.
Naći drugu apotomu.
Uzmimo racionalnu duž A i duž HG samerljivu po dužini sa A. Tada je i duž HG racionalna. Neka su DE i EZ dva kvadratna broja, čija razlika DZ nije kvadratni broj.
I načinimo tako da ZD prema DE bude kao kvadrat na HG prema kvadratu na HB. Stoga je kvadrat na GH samerljiv sa kvadratom na HB. Ali kvadrat na GH je racionalan, pa zbog toga jeracionalan i kvadrat na HB. Znači i HB je racionalna duž. I pošto kvadrat na HG nije u odnosu prema kvadratu na HB kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, duž GH nije samerljiva po dužini sa HB. A obe su racionalne, pa su prema tome GH i HB racionalne samerljive samo u stepenu. Na ovaj način BG je apotoma.
Tvrdim da je baš druga.
Zaista, neka kvadrat na BH bude veći od kvadrata na HG za kvadrat na Q. Pošto se sad kvadtar na BH odnosi prema kvadratu na HG kao broj ED prema broju DZ, bićeposle zamene jednog člana drugim, kvadrat na BH prema kvadratu na Q kao DE prema EZ. A svaki od brojeva DE i EZ je kvadrat. Prema tome je kvadrat na BH u odnosu prema kvadratu na Q kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Na ovaj način je BH samerljivo po dužini sa Q. I kako je kvadrat na BH veći od kvadrata na HG za kvadrat na Q, znači kvadrat na BH veći je od kvadrata na HG za kvadrat na duži samerljiv po dužini sa BH. I dodatak GH je samerljiv sa datom racionalnom duž A. Prema tome je BG druga apotoma.
Na ovaj način je nađena druga apotoma. A to je trebalo dokazati.