87.
Naći treću apotomu.
Uzmimo racionalnu duž A i tri broja E, EG, GD koji nisu među sobom u razmeri kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, ali neka razmera GB prema BD bude kao kvadratnog broja prema kvadratnom broju. I načinimo tako da E prema BG bude kao kvadrat na A prema kvadratu na ZH i da BG bude prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ. Pošto je sad E prema BG kao kvadrat na A prema kvadratu na ZH, biće kvadrat na A samerljiv sa kvadratom na ZH. No kvadrat na A je racionalan, zanči racionalan je i kvadrat na ZH, a prema tome je racionalna i duž ZH. I pošto E ne stoji prema BG u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju, ni kvadrat na A neće biti prema kvadratu na ZH kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Prema tome je A nesamerljivo po dužini sa ZH. Zaista, pošto je BG prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ, biće kvadrat na ZH samerljiv sa kvadratom na HQ. No kvadrat na ZH je racionalan, znači razionalan je i kvadrat na HQ, te prema tome je racionalna i duž HQ. I pošto BG ne stoji prema GD u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju, neće ni kvadrat na ZH prema kvadratu na HQ biti kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Prema tome je ZH nesamerljivo po dužini sa HQ. I oba su racionalni. Dakle racionalne duži ZH i HQ su samerljive samo u stepenu. Na ovaj način ZQ je apotoma.
Tvrdim da je baš treća.
Zaista, nešto je E prema BG kao kvadrat na A prema kvadratu na ZH i BG je prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na QH, biće zbog jednakoudaljenosti E prema GD kao kvadrat na A prema kvadratu na QH. No E ne stoji u odnosu prema GD kao kvadratni broj prema kvadratnom broju, pa ni kvadrat na A prema kvadratu na HQ nije u odnosu kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Prema tome A nije samerljivo po dužini sa HQ. Dakle nijedna od duži ZH i HQ neće biti samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži A. Neka sad ono čime je kvadrat na ZH veći od kvadrata na HQ bude kvadrat na K. Pošto je sad BG prema GD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na HD, biće posle zamene jednog dela drugim, BG prema BD kao kvadrat na ZH prema kvadratu na K. No BG je u odnosu prema BD kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Znači i kvadrat na ZH je prema kvadratu na K kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. Prema tome je ZH samerljivo po dužini sa K. I kvadrat na ZH je veći od kvadrata na HQ za kvadrat na duži samerljivoj sa ZH. I nijedna od duži ZH i HQ nije samerljiva po dužini sa datom duži A. Dakle ZQ je treća apotoma.
Na ovaj način je nađena treća apotoma. A to je trebalo dokazati.