9.
Kvadrati na samerljivim dužima se nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. I kvadrati koji se nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju imaju za strane samerljive duži. A kvadrati na nesamerljivim dužima se ne nalaze u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. I kvadrati koji se ne nalaze u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj prema kvadratnom broju nemaju za strane samerljive duži.
Neka su A i B samerljive duži. Tvrdim, da je razmera kvadrata na A prema kvadratu na B kao kvadratnog broja prema kvadratnom broju.
Zaista, pošto je A samerljivo sa B kao jedna duž sa drugom, A se nalazi u razmeri prema B kao broj prema broju. Neka se nalaze i to kao G prema D. Pošto je A prema B kao G prema D, onda je kvadrat na A prema kvadratu na B u dvaput višoj razmeri A prema B, jer se slične slike nalaze u dvaput višoj razmeri homolognih strana. A dvaput viša razmera broja G prema broju D je razmera kvadrata na G prema kvadratu na D. Jer za dva kvadrata postoji jedan srednje proporcionalan broj, a kvadratni broj je prema kvadratnom broju u dvaput višoj razmeri strane prema strani. Na taj način je kvadrat na A prema kvadratu na B kao kvadrat na G (broj) prema kvadratu na D (broj).
Neka se sad kvadrat na A odnosi prema kvadratu na B kao kvadrat na G prema kvadratu na D. Tvrdim da je duž A samerljiva sa duži B.
Zaista, pošto je kvadrat na A prema kvadratu na B kao kvadrat na G prema kvadratu na D, ali kvadrat na A je prema kvadratu na B u dvaput višoj razmeri od razmere A prema B, a kvadrat (broj) na (broju) G prema kvadratu (broju) na (broju) D. Prema tome je i A prema B kao (broj) G prema (broju) D. Znači, duž A je u razmeri prema B kao broj G prema broju D. Na ovaj način duž A je samerljiva sa duži B.
Neka, dalje, duž A nije samerljiva sa duži B. Tvredim, da se kvadrat na A ne nalazi u razmeri prema kvadratu na B kao kvadratni broj prema kvadratnom broju.
Zaista, ako se kvadrat na A prema kvadratu na B nalazi u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, biće duž A samerljiva sa duži B. A to nije tako. Prema tome se kvadrat na A prema kvadratu na B ne nalazi u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju.
Najzad, neka se kvadrat na A prema kvadratu na B ne nalazi u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Tvrdim, da ju duž A nesamerljiva sa duži B.
Zaista, ako je A samerljivo sa B, biće razmera kvadrata na A prema kvadratu na B kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. A to nije tako. Prema tome neće biti duž A samerljiva sa duži B.
Na ovaj način, kvadrati na samerljivim dužima, itd.