91.

Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i prvom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu apotomu.

Neka je površina AB obuhvaćena racionalnom duži AG i prvom apotomom AD. Tvrdim da kvadrat jednak površini AB ima za stranu apotomu.
Zaista, pošto je AD prva apotoma, neka DH bude njen dodatak. Prema tome su duži AH i HD racionalne i samerljive samo u stepenu. I cela duž AH je samerljiva sa datom racionalnom duži AG, i kvadrat na AH je veći od kvadrata na HD za kvadrat na duži samerljivoj po dužini sa AH. Prema tome, ako se konstruiše na AH paralelogram jednak četvrtini kvadrata na DH sa kvadratnom dopunom, on će podeliti AH na samerljive delove. Prepolovimo DH tačkom E i konstruišimo na AH paralelogram jednak kvadratu na EH sa kvadratnom dopunom i neka to bude paralelogram obuhvaćen sa AZ i ZH. AZ biće samerljivo sa ZH. I kroz tačke E, Z, H povucimo prave EQ, ZI, HK paralelne pravoj AG.
I pošto je AZ samerljivo po dužini sa ZH, biće i AH samerljivo po dužini sa svakim od AZ i ZA. No AH je samerljivo sa AG, prema tome je samerljiva po dužini i svaka od duži AZ i ZH sa AG. I AG je racionalno, znači i svako od AZ i ZH je racionalno. Na taj način je racionalna i svaka od površina AI i ZK. A pošto je DE samerljivo po dužini sa EH, biće i DH samerljivo po dužini sa svakom od DE i EH. Ali DH je racionalno i nesamerljivo po dužini sa AG. Znači i svako od DE i EH je racionalno i nesamerljivo po dužini sa AG. Prema tome je svaka od površina DQ i EK medijalna.
Konstruišimo kvadrat LM jednak površini AI i oduzmimo od njega kvadrat NX, sa istim uglom LOM, jednak površini ZK. Prema tome su kvadrati LM i NX na istoj dijagonali (dijametru). Neka njihova dijagonala bude OP pa dopunimo sliku. Pošto je sad pravougaonik obuhvaćen sa AZ i ZH jednak kvadratu na EH, biće AZ prema EH kao EH prema ZH. No AZ je prema EH kao AI prema EK, a EH je prema ZH kao EK prema KZ. Prema tome je EK srednja proporcionala za AI prema KZ. Isto tako za LM i NX srednja proporcionala je MN, kako je to ranije dokazano, i površina AI je jednaka kvadratu LM, a KZ - kvadratu NX. Prema tome je površina MN, jednaka površini EK. No EK je jednako DQ i MN jednako LX. Prema tome je LK jednako gnomonu UFX sa NX. Ali i AK je jednako kvadratima LM i NX. Znači ostatak AB jednak je ST. No ST je kvadrat na LN. Na ovaj način kvadrat na LN jednak je površini AB. I prema tome je LN strana kvadrata jednakog površini AB.
Tvrdim da je LN apotoma.
Zaista, pošto je svaka od površina AI i ZK racionalna, a jednake su LM i NX, biće i svaka od površina LM i NX. racionalna, tj. svaki od kvadrata na LO i OX. Znači i svaka od duži LO i ON racionalna je. Zatim pošto je površina DQ medijalna i jednaka LX, biće medijalna i površina LX. I pošto je sad LX medijalna, a NX racionalna, biće LX nesamerljivo sa NX. A kako je LX prema NX kao LO prema ON biće nesamerljivo po dužini i LO sa ON. Znači, duži LO i ON su racionalne i samerljive samo u stepenu. Dakle LN je apotoma i kvadrat na njoj jednak je površini AB. Na ovaj način strana kvadrata jednakog površini AB je apotoma.
Prema tome, ako je površina obuhvaćena racionalnom duži itd.