92.

Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i drugom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu prvu apotomu medijale.

Neka je površina AB obuhvaćena racionalnom duži AG i drugom apotomom AD. Tvrdim da je strana kvadrata, jednakog površini AB, prva apotoma medijale.
Zaista, neka DH bude dodatak za AD. Prema tome su duži AH i HD racionalne samerljive samo u stepenu i dodatak DH je samerljiv sa datom racionalnom duži AG, i kvadrat na celoj duži AH veći je od kvadrata na HD za kvadrat na duži samerljivoj po dužini sa AH. Pošto je sad kvadrat na AH veći od kvadrata na HD za kvadrat na duži samerljivoj sa AH, onda, ako se konstruiše na AH paralelogram jednak četvrtini kvadrata na HD sa kvadratnom dopunom, on će podeliti AH na samerljive delove. Prepolovimo DH tačkom E i konstruišimo na AH paralelogram jednak kvadratu na EH sa kvadratnom dopunom i neka to bude paralelogram obuhvaćen sa AZ i ZH. Stoga će AZ biti samerljivo po dužini sa ZH. I prema tome je AH samerljivo po dužini sa svakom od AZ i ZH. No AH je racionalno i nesamerljivo po dužini sa AG. Prema tome je i svaka od AZ i ZH racionalna i nesamerljiva po dužini sa AG. A svaka od površina AI i ZK je medijalna. Zatim, pošto je duž DE samerljiva sa EH, onda je DH samerljiva sa svakom od DE i EH. No DH je samerljivo po dužini sa AG (znači, i svaka od DE i EH je racionalna i samerljiva po dužini sa AG). Prema tome je racionalna i svaka od površina DQ i EK.
Konstruišimo sad kvadrat LM jednak površini AI i oduzmimo od njega kvadrat NX, jednak površini ZK, sa istim uglom LOM pri LM. Prema tome su kvadrati LM i NX na istoj dijagonali. Neka njihova dijagonala bude OP i dopunimo sliku. Pošto su sad površine AI i ZK medijalne i jednake odgovarajućim kvadratima LO i ON, biće i kvadrati LO i ON medijalni. Prema tome su i duži LO i ON medijalne i samerljive samo u stepenu. I pošto je pravougaonik obuhvaćen od AZ i ZH jednak kvadratu na EH, biće AZ prema EH kao EH prema ZH. No AZ je prema EH kao AI prema EK, znači i EH je prema ZH kao EK prema ZK. Prema tome je EK srednja proporcionala za AI i ZK. A za kvadrate LM i NX je srednja proporcionala MN. I površina AI jednaka je kvadratu LM, a površina ZK - kvadratu NX. I prema tome je površina MN jednaka EK. No DQ je jednako EK, a AX površini MN. Prema tome je cela površina DK jednaka gnomonu UFX i kvadratu NX. Pošto je sad cela površina DK jednaka zbiru površina LM i NX, od kojih je DK jednako gnomonu i kvadratu NX, biće ostatak AB jednak TS. No TS je kvadrat na LN. Znači kvadrat na LN jednak je površini AB. Na ovaj način je LN strana kvadrata jednakog površini AB.
Tvrdim da je LN prva apotoma medijale.
Zaista, pošto je površina EK racionalna i jednaka LX, biće racionalna i površina LX, tj. površina obuhvaćena sa LO i ON. Ali je dokazano da je vkadrat na NX medijalan. Prema tome je LX nesamerljivo sa NX. No LX je prema NX kao LO prema ON. Zbog toga su duči LO i ON nesamerljive po dužini. Znači LO i ON su medijale, samerljive samo u stepenu, koje obuhvataju racionalnu površinu. Prema tome je LN prva apotoma medijale. I ona je strana kvadrata jednakog površini AB.
Na ovaj način je strana kvadrata, jednakog površini AB, prva apotoma medijale. A to je trebalo dokazati.