94.

Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i četvrtom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini ima za stranu manju (iracionalnost).

Neka je površina AB obuhvaćena racionalnom duži AG i četvrtom apotomom AD. Tvrdim, da je strana kvadrata, jednakog površini AB manja.
Zaista, neka je DH dodatak za AD. Prema tome su duži AH i HD racionalne samerljive samo u stepenu i AH je samerljivo po dužini sa datom duži AG, a kvadrat na celoj duži AH veći od kvadrata na dodatku DH za kvadrat na duži nesamerljivoj po dužini sa AH. Pošto je sad kvadrat na AH veći od kvadrata na HD za kvadrat na duži nesamerljivoj po dužini sa AH, onda, ako se konstruiše na AH paralelogram jednak četvrtini kvadrata na DH sa kvadratnom dopunom, on će podeliti AH sa nesamerljive delove. Prepolovimo DH tačkom E i konstruišimo na AH paralelogram jednak kvadratu na EH sa kvadratnom dopunom i neka to bude paralelogram obuhvaćen sa AZ i ZH. Tada je AZ nesamerljivo po dužini sa ZH. Povucimo sad kroz tačke E, Z, H prave EQ, ZI HK paralelne sa AG i BD. Pošto je sad duž AH racionalna i samerljiva po dužini sa AG, racionalna je i cela površina AK. Zatim, pošto je duž DH nesamerljiva po dužini sa AG, a obe suracionalne, biće površina DK medijalna. Dalje pošto je duž AZ nesamerljiva po dužini sa ZK, biće i površina AI nesamerljiva sa površinom ZK.
Konstruišimo sad kvadrat LM jednak površini AI i oduzmimo od njega kvadrat NX jednak površini ZK, sa istim uglom LOM pri NX. Prema tome su kvadrti LM i NX na istoj dijagonali. Neka njihova dijagonala bude OP i dopunimo sliku. Pošto je sad površina obuhvaćena od AZ i ZH jednaka kvadratu na EH, biće proporcija: AZ prema EH kao EH prema ZH. No AZ je prema EH kao AI prema EK, a EH prema ZH kao EK prema ZK. Prema tome je EK srednja proporcionala za AI i ZK. No i MN je srednja proporcionala za kvadrate LM i NX i pri tome AI je jednako LM a ZK jednako NX. Na ovaj način je površina EK jednaka površini MN. No EK je jednako DQ, a površini MN je jednaka površine LX. A cela površina DK jednaka je gnomonu UFX sa NX. Pošto je celo AK jednako zbiru kvadrata LM i NX, a DK je jednako gnomonu UFX sa kvadratom NX, biće ostatak AB jednak ST, tj. kvadratu na LN. Na ovaj način LN je strana kvadrata jednakog površini AB.
Tvrdim da je LH iracionala takoznava "manja".
Zaista, pošto je površina AK racionalna i jednaka zbiru kvadrata na LO i na ON, biće taj zbir racionalan. Zatim, pošto je površina DK medijalan i jednaka dvostrukoj površini obuhvaćenoj sa LO i ON, biće ta dvostruka površina obuhvaćena sa LO i na ON medijalna. I pošto je dokazano da je AI nesamerljivo sa ZK. biće nesamerljiv i kvadrat na LO sa kvadratom na ON. Dakle duži LO i ON su nesamerljive u stepenu, zbir sastavljen od kvadrata na njima racionalan, a dvostruki pravougaonik obuhvaćen njima medijalan. Na ovaj način je duž AN iracionalna takozvana "manja". I jednaka je strani kvadrata jednakog površini AB.
Na ovaj način je strana kvadrata, jednakog površini AB, manja. A to je trebalo dokazati.