96.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i šestom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu "duž koja sa medijalnom obrazuje medijalno".
Neka je površina AB obuhvaćena racionalnom duži AG i šestom apotomom AD duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno.
Zaista, neka je DH dodatak za AD. Prema tome su duži AH i HD racionalne samerljive samo u stepenu, i nijedna od njih nije samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži AG, i kvadrat na celom AH je veći od kvadrata na DH za kvadrat na duži nesamerljivoj po dužini sa AH. Pošto je sad kvadrat na AH veći od kvadrata na HD za kvadrat na duži nesamerljivoj po dužini sa AH, onda, ako se konstruiše na AH paralelogram jednak četvrtini kvadrata na HD sa kvadratnom dopunom on će podeliti AH na nesamerljive delove. Prepolovimo sad DH tačkom E i konstruišimo na AH paralelogram jednak kvadratu na EH sa kvadratnom dopunom i neka to bude paralelogram obuhvaćen sa AZ i ZH. AZ će stoga biti nesamerljivo po dužini sa ZH. No AZ je prema ZH kao AI prema ZK. Prema tome je nesamerljivo i AI sa ZK. I pošto su AH i AG racionalni samerljivi samo u stepenu, biće AK medijalno. Zatim, pošto su duži AG i DH racionalen i nesamerljive po dužini, medijalno je i DK. Pošto su sad AH i HD samerljivi samo u stepenu, biće AH nesamerljivo po dužini sa HD. I kako je AH prema HD kao AK prema KD, biće nesamerljivo i AK sa KD. Konstruišimo sad kvadrat LM jednak površini AI i oduzmimo kvadrat NX, jednak ZK, sa istim uglom pri NX. Tada su kvadrati LM i NX na istoj dijagonali. Neka to bude dijagonala OP, i dopunimo sliku. Slično, kao ranije, može se dokazati da je kvadrat na LN jednak površini AB.
Tvrdim da je LN "duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno".
Zaista, pošto je dokazano da je AK medijalno i jednako zbiru kvadrata na LO i na ON, onda je i taj zbir kvadrata na LO i na ON medijalan. Zatim, pošto je dokazano da je DK medijalno, a jednako je dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenom sa LO i ON onda je taj dvostruki pravougaonik sa stranama LO i ON medijalan. I pošto je dokazano da je AK nesamerljivo sa DK, biće nesamerljiv i zbir kvadrata na LO i na ON sa dvostrukim pravougaonikom obuhvaćenim od LO i ON. I pošto je nesamerljivo AI sa ZK, nesamerljiv je i kvadrat na LO sa kvadratom na ON. Prema tome su duži LO i ON nesamerljive u stepenu, zbir kvadrata na njima je medijalan i dvostruka površina pravougaonika sastavljena od njih medijalna i zbir kvadrata na njima je nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom od njih. Prema tome je duž AN iracionalna, takozvana "duž koja se medijalnom obrazuje celo medijalno", i jednaka je strani kvadrata jednakog površini AB.
Na ovaj način je strana kvadrata, jednakog površini obuhvaćenoj racionalnom duži i šestom apotomom "duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno". A to je trebalo dokazati.