97.

Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na apotomi, ima za širinu prvu apotomu.

Neka je AB apotoma, GD racionalna duž i na GD konstruisani pravougaonik GE, jednak kvadrtu na AB, kome je šitina GZ. Tvrdim da je GZ prva apotoma.
Zaista, neka je BH dodatak za apotomu AB. Tada su AH i HB racionalne duži samerljive samo u stepenu. I konstruišimo na GD pravougaonik GQ, jednak kvadratu na AH, i pravougaonik KL jednak kvadratu na BH. Prema tome je cela površina GD jednaka zbiru kvadrata na AH i na HB. Prepolovimo ZM tačkom N i povucimo kroz tačku N pravu NX paralelnu GD. Biće tada svaka od površine ZX, LN jednaka pravougaoniku obuhvaćenom sa AH i HB. Pošto je zbir kvadrata na AH i na HB racionalan, a taj zbir je jednak površini DM, biće i površina DM racionalan, a konstruisana je na duži GD sa širinom GM. Prema tome je duž GM racionalna i samerljiva po dužini sa GD. Zatim, pošto je dvostruki pravougaonik obuhvaćen sa AH i HB medijalan, a taj dvostruki pravougaonik jednak površini ZL, biće i površina ZL medijalna. Ali ona je konstruisana na racionalnoj duž GD sa širinom ZM. Prema tome je racionalna i ZM i nesamerljiva po dužini sa GD. I pošto je zbir kvadrata na AH i na HB racionalan, a dvostruki pravougaonik obuhvaćen sa AH i HB medijalan, biće zbir kvadrata na AH i na HB nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom kome su strane AH i HB. A kako je zbri kvadrata iz AH i na HB jednak površini GD, a dvostruki pravougaonik sa AH i HB jednak površini ZL, biće nesamerljiva površini GL sa površinom ZL. No DM je prema ZL kao GM prema ZM. Znači duž GM je nesamerljiva po dužini sa ZM. A obe su racionalne. Na ovaj način su duži GM i MZ racionalne i samerljive samo u stepenu. I prema tome je GZ apotoma.
Tvrdim da je prva.
Zaista, pošto je za kvadrate na AH i na HB srednja proporcionalna pravougaonik sa stranama AH i HB, a kvadrat na AH je jednak površini GQ, kvadrat na BH jednak površini KL i pravougaonik sa stranama AH i HB površina NL, biće srednja proporcionala za površine GQ i KL površine NL. I prema tome je GQ prema NL kao NL prema KL. No GQ je prema NL kao GK prema NM, a NL je prema KL kao NM prema KM. Prema tome je pravougaonik obuhvaćen sa GK i KM jednak kvadrtu na NM, tj. četvrtini kvadrata na ZM. I pošto je kvadrt na AH samerljiv sa kvadratom na HB, biće samerljiva i površina GQ sa površinom KL. No GQ je prema KL kao GK prema KM. Prema tome je samerljiva duž GK sa duži KM. Sad, pošto su GM i MZ dve nejednake duži i na GM je konstruisan pravougaonik, jednak četvrtini kvadrata a ZM, sa kvadratnom dopunom. naime pravougaonik obuhvaćen sa GK i KM, a GK je samerljivo sa KM, biće kvadrat na GM veći od kvadrata na MZ za kvadrat na duži koja je samerljiva po dužini sa GM. I GM je duž samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži GD. Prema tome je GZ prva apotoma.
Na ovaj način, pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na apotomi, ima za širinu prvu apotomu. A to je trebalo dokazati.