99.

Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na drugoj medijalnoj apotomi, ima za širinu treću apotomu.

Neka je AB druga medijalna potoma. GD racionalna duž i na GD konstruisan pravougaonik GE jednak kvadratu na AB, sa širinom GZ. Tvrdim da je GZ treća potoma.
Zaista, neka je BH dodatak za AB. Tada su AH i HB medijale, samerljive u stepenu, koje obuhvataju medijalnu površinu. I konstruišimo na GD pravougaonik GQ, jednak kvadratu na AH, sa širinom, GK, i na KQ pravougaonik KL jednak kvadratu na BH, sa širinom KM. Prema tome je cela površina GL jednaka zbiru kvadrata na AH i HB [a kvadrati na AH i na HB su medijalni]. Prema tome je medijalna i površina GL. I ona je konstruisana na racionalnoj duži GD i ima za širinu GM. Na ovaj način i GM je racionalna duž i nesamerljiva po dužini sa GD. I pošto je cela površina GL jednaka zbiru kvadrata na AH i na HB, a površina GE je jednaka kvadratu na AB, biće ostatak, površina LZ, jednaka dvostrukom pravougaoniku obuhvaćenom stranama AM i HB. Prepolovimo sad ZM tačkom N i povucimo NX paralelono GD. Znači, svaka ov površine ZX i NL je jednaka pravougaoniku sa stranama AH i HB. Ali taj pravougaonik je medijalan, znači da je medijalna i površina ZL. A konstruisana je na racionalnoj duži EZ i ima za širinu ZM. Na taj način je racionalna i duž ZM i nesamerljiva po dužini sa GD. A pošto su AH i HB samerljive samo u stepenu, buće AH nesamerljivo po dužini sa HB. Pa prema tome je nesamerljiv i kvadrat na AH sa pravougaonikom kome su strene AH i HB. No sa kvadratom na AH su samerljivi kvadrati na AH i na HB, a sa pravougaonikom sa stranama AH i HB dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB. Znači kvadrati na AH i HB nesamerljivi su sa dvostrukim pravougaonikom kome su strane AH i HB. No zbir kvadrata na AH i na HB jednak je površina GL, a dvostruki pravougaonik sa stranama AH i HB jednak površini ZL. Otuda sleduje da je GL. nesamerljivo sa ZL. No GL je prema ZL kao GM prema ZM. Prema tome je duž GM nesamerljiva po dužini sa ZM. I obe su racionalne. Prema tome su duži GM i MZ racionalne, samerljive samo u stepenu. Na ovaj način je GZ apotoma.
Tvrdim da je treća.
Zaista, pošto je kvadrat na AH samerljiv sa kvadratom na HB, samerljiva je i površina GQ sa površinom KL. Pa prema tome i GK i KM. I pošto je za kvadrate na AH i na HB srednja proporcionala pravougaonik sa stranama AH i HB, a kvadrat na AH je jednak površini GQ, kvadrat na HB jednak površini KL, pravougaonik sa AH i HB jednak površini NL, biće za površine GQ i KL srednja proporcionala površina NL, te je prema tome GQ prema NL kao NL prema KL. No GQ je prema NL kao GK prema MN, a NL je prema KL kao NM prema KM; prema tome je GK prema MN kao MN prema KM. I na taj način je pravougaonik sa stranama GK i KM jednak kvadratu na MN, tj. četvrtini kvadrata na ZM. Pošto su sad GM i MZ dve nejednake duži i na GM je konstruisan pravougaonik jednak četvrtini kvadrata na ZM sa kvadratnom dopunom i on deli GM na samerljive delove, biće kvadrat na GM veći od kvadrata na MZ za kvadrat na duži samerljivoj sa GM. I nijedna od duži GM i MZ nije samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži GD. Dakle, GZ je traća apotoma.
Na ovaj način, pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na drugoj medijalnoj aoptomi, ima za širinu treću apotomu. A to je trebalo dokazati.