15.
Kod jednakih kupa i valjaka osnove su obrnuto proporcionalne visinama Kupe i valjci, kod kojh su osnove obrnuto proporcionalne visinama, jednaki su.
Neka su date jednake kupe i jednaki valjci, koji imaju krugove ABGD i EZHQ u osnovama, i prečnike AG i EH, a ose KL i MN, koje su i visine kupa i valjaka pa dopunimo valjke AX i EO. Tvrdim da su kod valjka AS i EO osnove obrnuto proporcionalne visinama, tj. osnova ABGD je prema osnovi EZHQ kao visina MN prema visini KL.
Zaista, visina LK je ili jednaka visini MN ili nije. Neka je, prvo, jednaka. No i valjak AX jednak je valjku EO. Ali kupe i valjci sa istom visinom su u razmeri među sobom kao osnove [XII.11]. Prema tome je i osnova ABGD jednaka osnovi EZHQ. I obrnuto, osnova ABGD prema osnovi EZHQ je kao visina MN prema visini KL.
Neka međutim visina LK ne bude jednaka visini MN, već ova, MN, veća. Oduzmimo od MN visinu pN, jednaku KL, i presecimo valjak EO sa ravni TSU kroz tačku p, ravni koja je paralelna sa ravnima - EZHQ i kruga PO - i nad krugo EZHQ kao osnovom zamislimo valjak ES sa visinom Np. Pošto je valjak AX jednak valjku EO, biće valjak AX prema valjku ES kao valjak EO prema valjku ES [V.7]. No valjak AX je prema valjku ES kao osnova ABGD prema osnovi EZHQ, jer valjci AX i ES imaju istu visinu [XII.11]. No valjak EO je prema valjku ES kao visina MN prema visini pN, jer je valjak EO presečen sa ravni koja je paralelna sa naspramnim ravnima [XII.13]. Prema tome je osnova ABGD prema osnovi EZNQ kao visina MN prema visini pN [V.11]. Ali je visina pN jednaka visini KL. Dakle, osnova ABGD je prema osnovi EZNQ kao visina MN prema visini KL. Na ovaj način su kod valjaka AX i EO osnove obrnuto proporcionalne visinama.
Neka su sad kod valjaka AX i EO osnove obrnuto proporcionalne visinama, tj. osnova ABGD je prema osnovi EZNQ kao visina EN prema visini KL. Tvrdim da je valjak AX jednak valjku EO.
Zaista, posle istih konstrukcija zaključujemo, da će se, pošto je osnova ABGD prema osnovi EZHQ kao visina MN prema visini KL, a visina KL jednaka visini pN, osnova ABGD odnositi prema osnovi EZHQ kao visina MN prema visini pN. Ali osnova ABGD je prema osnovi EZHQ kao valjak AX prema valjku ES, jer su oni sa istom visinom [XII.11]. I visina MN je prema visini pN kao valjak EO prema valjku ES [XII.13]. Prema tome je valjak AX prema valjku ES kao valjak EO prema valjku ES [V.11]. Na ovaj način je valjak AX jednak valjku EO [V.9]. Isto i sa kupama. A to je trebalo dokazati.