EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA XII
1.
Slični mnogouglovi, upisani u krugove, odnose se jedan prema drugom kao kvadrati na prečnicima.
2.
Krugovi se odnose jedan prema drugom kao kvadrati na prečnicima.
Lema
Tvrdim, da ako je površina S veća od kruga EZHQ, onda je površina S prema krugu ABGD kao krug EZHQ prema površini manjoj od kruga ABGD.
3.
Svaka piramida sa trouglom osnovom može se podeliti na dve jednake piramide sa trouglim osnovama, slične jedna drugoj i celoj piramidi, i na dve jednake prizme; zbir te dve prizme je veći od od polovine cele piramide.
4.
Ako postoje dve piramide sa istom visinom, čije su osnove trouglovi, i svaku podelimo na dve jednake piramide, slične među sobom i sa celom piramidom, i na dve jednake prizme, osnova jedne piramide odnosiće se prema osnovi druge piramide kao sve prizme prve piramide prema svima, u istom broju, prizmama druge piramide.
Lema
A da je trougao LXG prema trouglu PFZ kao prizma kojoj je osnova trougao LXG, a naspramni trougao OMN, prema prizmi kojoj je osnova trougao PFZ i naspramni trougao STU, to treba dokazati.
5.
Piramide jednakih visina i sa trouglim osnovama u razmeri su jedna prema drugoj kao osnove.
6.
Piramide jednakih visina i sa mnogouglovima u osnovama u razmeri su jedna prema drugoj kao osnove.
7.
Svaka prizma sa trouglom u osnovi može se podeliti na tri među sobom jednake piramide sa trouglovima u osnovama.
Posledica
Odavde je jasno da je svaka piramida treći deo one prizme koja ima istu osnovu i istu visinu [jer ako bi prizma imala kao osnovu neku drugu, sem trougla, pravolinijsku sliku, kao i naspramnu sliku, ta prizma se može podeliti na prizme kojima su osnove trouglovi i sa naspramnim trouglovima, i cela osnova prema svakoj ...]. A to je trebalo dokazati.
8.
Razmera sličnih piramida kojima su osnove trouglovi triput je viša od razmere homolognih ivica.
Posledica
Iz ovog je jasno, da je i razmera sličnih piramida kojima su mnogouglovi u osnovama triput više od razmere homolognih ivica.
9.
Kod jednakih piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove su obrnuto proporcionalne visinama; i ako su kod piramida koje imaju trouglove u osnovama osnove obrnuto proporcionalne visinama, piramide su jednake.
10.
Svaka kupa (konus) je trećina valjka (cilindra), ako imaju istu osnovu i jednake visine.
11.
Kupe i valjci sa istom visinom odnose se jedno prema drugom, posebice, kao osnove.
12.
Slične kupe među sobom i slični valjci među sobom su u razmeri triput višoj od razmere prečnika njihovih osnova.
13.
Ako je valjak presečen nekom ravni paralelnom sa naspramnim ravnima, otseći će se osa prema osi kao valjak prema valjku.
14.
Kupe i valjci sa jednakim osnovama su u razmeri visina.
15.
Kod jednakih kupa i valjaka osnove su obrnuto proporcionalne visinama Kupe i valjci, kod kojh su osnove obrnuto proporcionalne visinama, jednaki su.
16.
Ako su data dva kruga sa istim centrima, upisati u veći krug jednakostrani mnogougao, sa parnim brojem strana koji ne dodiruju manji krug.
17.
Ako su date dve sfere sa istim centrom, upisati u veću sferu poliedarsko telo koje ne dodiruje površinu manje sfere.
Posledica
Ako se i u drugu sferu upiše poliedarsko telo slično poliedarskom telu upisanom u sferu BGDE, biće razmera poliedarskog tela upisanog u sferu BGDE prema poliedarskom telu upisanom u drugu sferu triput viša od razmere prečnika sfere BGDE prema prečniku druge sfere.
18.
Razmera jedne lopte prema drugoj je triput viša od razmere njihovih prečnika. |