4.
Ako postoje dve piramide sa istom visinom, čije su osnove trouglovi, i svaku podelimo na dve jednake piramide, slične među sobom i sa celom piramidom, i na dve jednake prizme, osnova jedne piramide odnosiće se prema osnovi druge piramide kao sve prizme prve piramide prema svima, u istom broju, prizmama druge piramide.
Neka postoje dve piramide sa istom visinom, čije su osnove trouglovi ABG i DEZ i vrhovi u tačkama H i Q, i neka je svaka podeljena na dve jednake piramide, slične među sobom i celoj piramidi, i na dve jednake prizme [XII.3]. Tvrdim da je osnova ABG prema osnovi DEZ kao i sve prizme piramide ABGH prema prizmama u istom broju piramide DEZQ.
Zaista, pošto je BX jednako XG, a AL jednako LG, biće prava LX paralelna AB i trougao ABG sličan trouglu LXG. Iz istih razloga je i trougao DEZ sličan trouglu PFZ. I pošto je BG dvaput veće od GX, a EZ od ZF, biće BG prema GX kao EZ prema ZF. Na taj način su na BG i na GX konstruisane slične i u sličnom položaju pravolinijske slike ABG i LXG, a na EZ i na ZF slične i u sličnom položaju pravolinijske slike DEZ i PFZ. Prema tome je trougao ABG prema trouglu LXG kao trougao DEZ prema trouglu PFZ [VI.22]. Ili, posle promene reda trougao ABG je prema trouglu DEZ kao trougao LXG prema trouglu PFZ [V.16]. Međutim je trougao LXG prema trouglu PFZ kao prizma kojoj je osnova trougao LXG i naspramni trougao OMN prema prizmi kojoj je osnova trougao PFZ i naspramni trougao STU. Te je prema tome trougao ABG prema trouglu DEZ kao prizma, kojoj je osnova trougao LXG i naspramni trougao OMN, prema prizmi, kojoj je osnova trougao PFZ i naspramni trougao STU. No navedene prizme se jedna prema drugoj odnose kao prizma kojoj je osnova paralelogram KBXL a naspramna ivica OM prema prizmi kojoj je osnova paralelogram pEFP a naspramna ivica ST [XI.39, XII.3]. A u istoj razmeri je i zbir dve prizme: jedne, kojoj je osnova paralelogram KBXL i naspramna ivica OM, i druge, kojoj je osnova LXG i naspramni trougao OMN, prema zbiru prizama, jedne kojoj je osnova pEFP i naspramna ivica ST i druge kojoj je osnova trougao PFZ a naspramni trougao STU [V.12]. Na ovaj način se zbir dve navedene prizme odnosi prema zbiru dve druge navedene prizme kao osnova ABG prema osnovi DEZ.
Na sličan način, ako se piramide OMNH i STUQ podele na dve prizme i na dve piramide, biće osnova OMN prema osnovi STU kao dve prizme u piramidi OMNH prema dvema prizmama u piremidi STUQ. Ali osnova OMN je prema osnovi STU kao osnova ABG prema osnovi DEZ, jer je svaki od trouglova OMN i STU jednak svakom od trouglova LXG i PFZ. I na taj način je osnova ABG prema osnovi DEZ kao četiri prizme prema četiri prizme. Isto tako će, ako se preostale piramide podele na dve piramide i na dve prizme, osnova ABG biti prema osnovi DEZ kao sve prizme u piramidi ABGH prema svima prizmama u istom broju u piramidi DEZQ. A to je trebalo dokazati.