5.
Piramide jednakih visina i sa trouglim osnovama u razmeri su jedna prema drugoj kao osnove.
Neka su date piramide sa osnovama ABG i DEZ sa istom visinom i sa vrhovima u tačkama H i Q. Tvrdim, da se osnova ABG prema osnovi DEZ odnosi kao piramida ABGH prema piramidi DEZQ.
Zaista, ako osnova ABG ne bi bila prema osnovi DEZ kao piramida ABGH prema piramidi DEZQ onda će osnova ABG biti prema osnovi DEZ kao piramida ABGH prema veličini manjoj ili većoj od piramide DEZQ. Neka bude, prvo, prema manjoj veličini X; i podelimo piramidu DEZQ na dve jednake piramide, slične među sobom i celoj piramidi, i na dve jednake prizme, pri čemu je zbir dve prizme veći od polovine cele piramide [XII.3]. Zatim piramide dobivene posle podele podelimo ponovo na sličan način i tako ćemo postupati sve dok od piramide DEZQ ne ostanu takve piramide koje su manje od razlike piramide DEZQ i tela X [X.1]. Neka ostanu i neka to budu, napr., piramide DpPS i STUQ. Tada su sve ostale prizme u piramidi DEZQ veće od tela X. Podelimo i piramudu ABGH, na sličan način i na isti broj delova, kao što je podeljena piramida DEZQ. Tada se osnova ABG prema osnovi DEZ odnosi kao prizme u piramidi ABGH prema prizmama u piramidi DEZQ [XII.4]. Ali osnova ABG je prema osnovi DEZ kao piramida ABGH prema telu X. Prema tome je piramida ABGH prema telu X kao prizme u piramidi ABGD prema prizmama u piramidi DEZQ [V.11]. Na taj način, posle promene reda, piramida ABGH je prema prizmama u njoj kao telo X prema prizmama u piramidi DEZQ [V.16]. No piramida ABGH je veća u prizmama u njoj, pa prema tome i telo X je veće od prizama u piramidi DEZQ. Ali ono je i manje. A to je nemoguće. Prema tome osnova ABG prema osnovi DEZ nije u razmeri piramide ABGH prema telu manjem od piramide DEZQ. Na sličan način se dokazuje da osnova DEZ prema osnovi ABG nije u razmeri piramide DEZQ prema telu manjem od piramide ABGH.
Ali tvrdim da osnova ABG prema osnovi DEZ nije u razmeri piramide ABGH ni prema telu većem od piramide DEZQ.
Zaista, ako je moguće, neka bude prema većem telu X. Znači, obrnuto, osnova DEZ je prema osnovi ABG kao telo X prema piramidi ABGH. Ali telo X prema piramidi ABGH je kao piramida DEZQ prema telu manjem od piramide ABGH, kako je bilo dokazano [XII.2, Lema]. Dakle, osnova DEZ je prema osnovi ABG kao piramida DEZQ prema telu manjem od piramide ABGH [V.11], a dokazano je da je to besmisleno. Prema tome osnova ABG prema osnovi DEZ nije u razmeri piramide ABGH prema telu većem od piramide DEZQ. A dokazano je da nije ni prema manjem. Na ovaj način osnova ABG je prema osnovi DEZ kao piramida ABGH prema piramidi DEZQ. A to je trebalo dokazati.