EUKLIDOVI ELEMENTI
KNJIGA X
Definicije
1. Kaže se da su veličine samerljive, ako imaju zajedničku meru i da su nesamerljive, ako se ne može odrediti nikakva njihova zajednička mera.
2. I da su duži samerljive u stepenu (kvadratno), ako se na njima konstruisani kvadrati mere istom povšinom, a nesamerljive kad se ne može za kvadrate na njima konstruisane odrediti nikakva površina, kao njihova zajednička mera.
3. Pod takvim pretpostavkama se dokazuje da za neku datu duž postoji beskrajno mnogo kako samerljivih tako i nesamerljivih duži bilo samo po dužini bilo i u stepenu. I tada ćemo zvati datu duž racionalnom, a duži samerljive sa njom kako i po dužini i u stepenu, tako i samo u stepenu racionalnim, a nesamerljive sa njom - iracionalnim.
4. I zvaćemo kvadrat na datoj duži racionalnim i sa njim samerljive površine racionalnim, a nesamerljive - iracionalnim i duži na kojima su ovi kvadrati - iracionalnim, pri čemu, ako su to zaista kvadrati, duži su strane kvadrata, a ako su to druge neke pravoliniske slike, onda su to strane njima jednakih kvadrata.
-
Druge definicije
1. Data je racionalna duž i binomijala podeljena na dva dela tako da je kvadrat na većem delu veći od kvadrata na manjem za kvadrat na duži koja je samerljiva po dužini sa većim delom. Ako je taj veći deo samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži, cela duž se zove prva binomijala.
2. Ako je manji deo samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži, neka se zove druga binomijala.
3. Ako nijedan deo nije samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži, neka se treća binomijala.
4. Zatim, ako kvadrat na većem delu bude veći od kvadrata na manjem za kvadrat na duži nesamerljivoj po dužini sa većim delom,tada se, ako je veći deo samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži, cela duž zove četvrta binomijala.
5. A ako je manji deo - peta binomijala.
6. A ako nije nijedan - šesta binomijala.
-
Treće definicije
1. Date su racionalna duž i apotoma. Ako je kvadrat na celoj duži veći od kvadrata na dodatku za kvadrat na duži samerljivoj po dužini sa celom duži i cela duž je samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži, apotoma se zove prva.
2. A ako je dodatak samerljiv po dužini sa datom racionalnom duži i kvadrat na celoj duži veći od kvadrata na dodatku za kvadrat duži samerljive sa celom duži, apotoma se zove druga.
3. A ako je nijedna duž (ni cela duž ni dodatak) nije samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži i kvadrat na celoj duži je veći od kvadrata na dodatku za kvadrat duži samerljive sa celom duži, apotoma se zove traća.
4. Zatim, ako je kvadrat na celoj duži veći od kvadrata na dodatku za kvadrat na duži nesamerljivoj po dužini sa celom duži i cela duž je samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži, apotoma se zove četvrta.
5. A ako je samerljiv dodatak, peta.
6. A ako nijedna duž nije samerljiva, šesta.
1.
Neka su date dve nejednake veličine. Ako od veće oduzmemo veličinu veću od polovine, a od ostatka - veću od njegove polovine i tako postupamo neprekidno, ostaće neka veličina koja je manja od date manje veličine.
2.
Dve date nejednake veličine su nesamerljive, ako pri neprekidnom oduzimanju manje veličine od veće nijedan ostatak ne meri prethodni ostatak.
3.
Naći za dve date samerljive veličine njihovu najveću zajedničku meru.
Posledica
Iz ovog je jasno da, ako neka veličina meri dve veličine, ona meri i njihovu najveću zajedničku meru.
4.
Naći za tri date samerljive veličine njihovu najveću zajedničku meru.
Posledica
Iz ovog je jasno da, ako neka veličina meri tri veličine, ona meri i njihovu najveću zajedničku meru. Na sličan način se određuje najveća zajednička mera i za veći broj veličina, a i posledica se proširuje.
5.
Samerljive veližine su u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju.
6.
Ako su dve veličine u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju, one su samerljive.
Posledica
Iz ovog je jasno da, ako postoje dva broja, recimo, D i E i duž, napr. A, onda se može načiniti tako da bude broj D prema broju E kao duž prema duži.
7.
Nesamerljive veličine se ne nalazi u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju.
8.
Ako se dve veličine ne nalaze u razmeri jedna prema drugoj kao broj prema broju, te veličine su nesamerljive.
9.
Kvadrati na samerljivim dužima se nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. I kvadrati koji se nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju imaju za strane samerljive duži. A kvadrati na nesamerljivim dužima se ne nalaze u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj prema kvadratnom broju. I kvadrati koji se ne nalaze u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj prema kvadratnom broju nemaju za strane samerljive duži.
Posledica
Iz dokazanog je jasno da su veličine samerljive po dužini uvek samerljive i u stepenu, a da veličine samerljive samo u stepenu nisu uvek samerljive i po dužini, [pošto se kvadrati konstruisani na samerljivim (po dužini) dužima nalaze u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, tj. u razmeri broja prema broju, oni su prema tome samerljive]. Na ovaj način duži samerljive po dužini, samerljive su ne samo po dužini već i u stepenu.
Lema
U aritmetikama se dokazuje da su slični površinski brojevi u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj prema kvadratnom broju i da, ako su dva broja u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju, oni su slični površinski brojevi. Iz ovog je očigledno, da površinski brojevi, koji nisu slični, tj. nemaju proporcionalnih strana, nisu u razmeri kvadratnog broja prema kvadratnom broju. Zaista, ako bi oni bili u takvoj razmeri, oni bi bili slični površinski, a to se ne pretpostavlja. Na ovaj način površinski brojevi nisu slični nisu u razmeri jedan prema drugom kao kvadratni broj prema dvadratnom broju.
10.
Za datu duž naći dve nesamerljive duži, jednu nesamerljivu samo po dužini, a drugu nesamerljivu i u stepenu.
11.
Ako su četiri veličine proporcionalne, i prva samerljiva sa drugom, biće i treća samerljiva sa četvrtom, a ako je prava nesamerljiva sa drugom, biće i treća nesamerljiva sa četvrtom.
12.
Veličine samerljive sa istom veličinom samerljive su i među sobom.
13.
Ako su dve veličine samerljive, a jedna od njih nesamerljiva ma sa kojom drugom veličinom, biće i druga nesamerljiva sa tom veličinom.
Lema
Za dve date nejednake duži naći duž za čiji kvadrat će kvadrat veće duži biti veći od kvadrata manje.
14.
Ako su date četiri proporcionalen duži i kvadrat prve je veći od kvadrata druge za kvadrat duži samerljive po dužini sa prvom duži, biće i kvadrat treće veći od kvadrata četvrte za kvadrat duži samerljive po dužini sa trećom. I ako je kvadrat prve veći od kvadrata druge za kvadrat duži nesamerljive po dužini sa prvom duži, biće i kvadrat treće veći od kvadrata četvrte za kvadrat duži nesamerljive po dužini sa trećom.
15.
Ako se saberu dve samerljive veličine, biće i zbir samerljiv sa svakom od njih, a ako je zbir samerljiv sa jednom od njih (sa jednim sabirkom), biće i polazne veličine (sabirci) samerljive.
16.
Ako se saberu dve nesamerljive veližine, biće i zbir nesamerljiv sa svakom od njih, a ako je zbir nesamerljiv sa jednom od njih (sa jednim sabirkom), biće i polazne veličine (sabirci) nesamerljive.
Lema
Ako se na duži konstruiše paralelogram sa dvadratnom dopunom, konstruisani (paralelogram) je jednak pravougaoniku čiji su strane oni delovi duži koji su nastali usled konstrukcije.
17.
Ako postoje dve nejednake duži i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram, koji je jednak četvrtini kvadrata na manjoj, i deli tu duž na delove samerljive po dužini, biće kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat duži koja je samerljiva po dužini sa većom duži. I ako je kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat duži koja je samerljiv po dužini sa većom duži, i na većoj je konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram koji je jednak četvrtini kvadrata na manjoj, on (paralelogram) će deliti veću duž na delove samerljive po dužini.
18.
Ako postoje dve nejednake duži i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram, koji je jednak četvrtini kvadrata na manjoj, i deli tu duž na delove nesamerljive po dužini, biće kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljiva po dužini sa većom duži. I ako je kvadrat na većoj duži veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljiva po dužini sa većom duži, i ako je na većoj konstruisan sa kvadratnom dopunom paralelogram, koji je jedank četvrtini kvadrata na manjoj, on (paralelogram) će deliti veću duž na delove nesamerljive po dužini.
Lema
Pošto je dokazano da su duži samerljive po dužini uvek samerljive i u stepenu, a samerljive u stepenu nisu uvek samerljive i po dužini, već mogu biti i samerljive i nesamerljive po dužini, jasno je da, ako je neka duž samerljiva po dužini sa datom racionalnom duži, ona se zove racionalna i samerljiva ne samo po dužini već i u stepenu, jer su samerljive po dužini uvek samerljive i u stepenu. A ako je neka duž, samerljiva u stepenu sa datom racionalnom duži, u isto vreme samerljiva i po dužini, ona se zove racionalna i samerljiva s njom kako po dužini tako i u stepenu. Međutim, ako je neka duž samerljiva sa datom racionalnom duži u stepenu, ali nesamerljiva po dužini, ona se tada zove racionalna ali samerljiva samo u stepenu.
19.
Pravougaonik sa racionalnim stranama koje su samerljive po dužini prema jednom ili drugom od navedenih načina racionalan je.
20.
Racionalna površina konstruisana na racionalnoj duži ima racionalnu širinu, samerljivu po dužini sa onom duži, na kojoj je konstruisana površina.
21.
Pravougaonik sa racionalnim stranama samerljivim samo u stepenu iracionalan je, a iracionalna je i strana kvadrata jednakog površini pravougaonika. Neka se takva strana zove medijala.
Lema
Ako postoje dve duži, biće jedna prema drugoj kao kvadrat na prvoj prema pravougaoniku sa dvema ovim dužima kao stranama.
22.
Pravougaonik, jednak kvadratu na medijali, konstruisan na racionalnoj duži ima racionalnu širinu nesamerljivu po dužini sa duži na kojoj je konstruisan.
23.
Veličina samerljiva sa medijalom je medijala.
Posledica
Iz ovog je jasno da je površina samerljiva sa medijalnom površinom i sama medijalna jer su strane kvadrata jednakih tim površinama samerljive samo u stepenu, i ako je jedna medijala i druga je medijala.
Lema
Što je bilo rečeno o racionalnim dužima sleduje i za medijale, naime: veličina samerljiva sa medijalom po dužini zove se medijala i ona je samerljiva sa njom ne samo po dužini već i u stepenu, jer su veličine, koje su samerljive po dužini, samerljive i u stepenu. A ako je neka veličina samerljiva sa medijalom u stepenu, a samerljiva i po dužini, tada se obe veličine zovu medijale, i to samerljive po po dužini i stepenu, a ako su samerljive samo u stepenu, tada se zovu medijale samerljive samo u stepenu.
24.
Ako su strane pravougaonika medijale, samerljive po dužini sa ranije navedenim tumačenjem, pravougaonik je medijalan.
25.
Ako su strane pravougaonika medijale, samerljive samo u stepenu, biće pravougaonik ili racionalan ili medijalan. Neka su strane AB i BG pravougaonika AG medijale, a samerljive samo u stepenu. Tvrdim, da je AG ili racionalan ili medijalan.
26.
Medijalna površina ne može biti veća od druge medijalne površine za neku racionalnu površinu.
27.
Naći medijale, samerljive samo u stepenu, koje su strane racionalnog pravougaonika.
28.
Naći medijale, samerljive samo u stepenu, koje su strane medijalnog pravougaonika.
Lema
Naći takva dva kvadratna broja da i njihov zbir bude kvadratni broj.
Lema
Naći dva kvadratna broja čiji zbir nije kvadratni broj.
29.
Naći dve, samo u stepenu samerljive, takve racionalne duži da kvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je samerljiva po dužini sa većom.
30.
Naći dve, samo u stepenu samerljive, takve, racionalne duži da kvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži koja je nesamerljiva po dužini sa većom.
31.
Naći dve, samo u stepenu samerljive, medijale tako da budu strane racionalnog pravougaonika i da kvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži samerljivoj sa većom.
32.
Naći dve medijale samerljive samo u stepenu tako da budu strane medijalnog pravougaonika i da kvadrat na većoj bude veći od kvadrata na manjoj za kvadrat na duži samerljivoj sa većom.
Lema
Neka je ABG pravougli trougao sa pravim uglom A i neka je A D normala. Tvrdim, da je pravougaonik sa stranama GB i BD jednak kvadratu na BA, pravougaonik sa stranama BG i GD jednak kvadratu na GA, i pravougaonik sa stranama BD i DG jednak kvadratu na AD, i još pravougaonik sa stranama BG i AD jednak je pravougaoniku sa stranama BA i AG.
33.
Naći takve dve duži, nesamerljive u stepenu, da površina sastavljena od kvadrata nanjima bude racionalna, a pravougaonik obuhvaćen tim dužima medijalan.
34.
Naći dve duži nesamerljive u stepenu, takve da površina sastavljena od kvadrata na njima bude medijalna, a pravougaonik obuhvaćen tim dužima racionalan.
35.
Naći dve duži nesamerljive u stepenu, takve da površina satavljena od kvadrata na njima bude medijalna i pravougaonik obuhvaćen tim dužima medijalan, i pri tome nesamerljiv sa površinom satavljenim od kvadrata na njima.
36.
Ako se saberu dve racionalne duži, samerljive samo u stepenu, biće cela duž iracionalna: neka se zove binomijala.
37.
Ako se saberu dve duži-medijale, samerljive samo u stepenu, koje obuhvataju racionalan pravougaonik, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove prva bimedijala.
38.
Ako se saberu dve duži-medijale, samerljive samo u stepenu, koje obuhvataju medijalan pravougaonik, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove druga bimedijala.
39.
Ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepenu, za koje je zbir kvadrata na njima racionalan, a pravougaonik obuhvaćen njima medijalan, biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove veća.
40.
Ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepenu, za koje je zbir kvadrata na njima medijalan, apravougaonik obuhvaćen njima racionalan,biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove "strana kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine".
41.
Ako se saberu dve duži, nesamerljive u stepene, za koje je zbir kvadrata na njima medijalan i pravougaonik obuhvaćen njima medijalan, i pri tome je pravougaonik nesamerljiv sa zbirom kvadrata,biće cela duž iracionalna. Neka se ona zove "strana kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine".
Lema
Da se navedene iracionalne duž samo na jedan način dele na duži, od kojih se, kao od sabiraka, obrazuju izneseni tipovi iracionalnosti, dokazaćemo posle ove male leme.
42.
Binomijala se deli na svoje delove samo jednom tačkom.
43.
Prva bimedijala se deli samo jednom tačkom.
44.
Druga medijala se deli samo jednom tačkom.
45.
"Veća" se deli samo jednom tačkom.
46.
"Strana kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine" deli se samo jednom tačkom.
47.
"Strana kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine" deli se samo jednom tačkom.
48.
Naći prvu binomijalu.
49.
Naći drugu binomijalu.
50.
Naći treći binomijalu.
51.
Naći četvrtu binomijalu.
52.
Naći petu binomijalu.
53.
Naći šestu binomijalu.
Lema
Neka su AB i BG dva kvadrata. Postavimo ih tako da DB i BE budu u istoj pravoj. Biće tada i ZB u istoj pravoj sa BH. Pa dopunimo paralelogram AG. Tvrdim da je AG kvadrat, i da je pravougaonik DH srednja proporcionala za kvadrate AB i BG i pravougaonik DG srednja proporcionala za kvadrate AG i GB.
54.
Ako su racionalna duž i prva bionomijala strane nekog pravougaonika biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku iracionalna, i to binomijala.
55.
Ako su racionalna duž i druga binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku iracionalna i to prva bimedijala.
56.
Ako su racionalna duž i treća binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku iracionalan i to druga bimedijala.
57.
Ako su racionalna duž i četvrta binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku iracionalna i to takozvana veća.
58.
Ako su racionalna duž i peta binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku takozvana strana kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine.
59.
Ako su racionalan duž i šesta binomijala strane nekog pravougaonika, biće strana kvadrata sa površinom jednakom tom pravougaoniku takozvana strana kvadrat jednakog zbiru dve medijalne površine.
Lema
Ako je neka duž podeljena na nejednake delove, zbir kvadrata na tim delovima je veći od dvostrukog pravougaonika obuhvaćenog tim nejednakim delovima.
60.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku površini kvadrata na binomijali, njegova širina je prva binomijala.
61.
Ako pravougaonik konstruisan na racionalnoj duži ima površinu jednaku površini kvadrata na prvoj bimedijali, njegova širina je druga binomijala.
62.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku površini kvadrata na drugoj bimedijali, njegova širina je treća binomijala.
63.
Ako pravougaoniku, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku površini kvadrata na većoj bimedijali, njegova širina je četvrta binomijala.
64.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku kvadratu na strani kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine, njegova širina je peta binomijala.
65.
Ako pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži, ima površinu jednaku kvadratu na stani kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine njihova širina je šest binomijala.
66.
Duž samerljiva po dužini sa binomijalom i sama je binomijala istog reda.
67.
Duž samerljiva po dužini sa bimedijalom i same je bimedijala i to istog reda.
68.
Duž samerljiva sa većom biće i sama veća.
69.
Duž samerljiva sa "stranom kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine" i sama je "strana kvadrata jednakog zbiru racionalne i medijalne površine".
70.
Duž samerljiva sa "stranom kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine" i sama je sa "strana kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine".
71.
Pri sabiranju racionalnog i medijalnog (racionalne i medijalne površine) mogu se dobiti četiri iracionalnosti: ili binomijala, ili prva bimedijala, ili "veća", ili "strana kvadrata jednakog zbiru dve racionalne i medijalne površine".
72.
Pri sabiranju dve među sobom nesamerljive medijalne površine mogu se dobiti dve ostale iracionalnost: ili druga bimedijala ili "strana kvadrata jednakog zbiru dve medijalne površine".
73.
Ako se od racionalne duži oduzme racionalna duž, koja je samerljiva sa celom samo u stepenu, biće ostatak iracionalan. Neka se on zove apotoma.
74.
Ako se od medijale oduzme medijala, samerljiva sa celom samo u stepenu, koja obuhvata sa celom duži racionalan pravougaonik biće ostatak iracionalan. Neka se on zove prva apotoma medijale.
75.
Ako se od medijale oduzme medijala, samerljiva sa celom samo u stepenu, koja sa celom obuhvata medijalan pravougaonik, biće ostatak iracionalan. Neka se on zove druga apotoma medijale.
76.
Ako se od duži oduzme duž, nesamerljiva u stepenu sa celom, a zbir kvadrata na njoj i na celoj je racionalan, i pravougaonik obuhvaćen istim dužima medijalan, biće ostatak iracionalan. Neka se on zove "manji".
77.
Ako se od duži oduzme duž, nesamerljiva u stepenu sa celom, a zbir kvadrata na njoj i na celoj je medijalan, i dvostruki pravougaonik obuhvaćen istim dužima racionalan, biće ostatak iracionalan. Neka se on zove "duž koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno".*)
78.
Ako se od duži oduzme duž nesamerljiva u stepenu sa celom, a zbir kvadrata na njoj i na celoj je medijalan i dvostruki pravougaonik obuhvaćen istim dužima medijalan, a zbir kvadrata na tim dužima je nesamerljiv sa dvostrukim pravougaonikom istih strana, biće ostatak iracionalan.
79.
Apotomi se može dodati jedna jedina racionalna duž samo u stepenu samerljiva sa celom duži.
80.
Prvoj medijalnoj apotomi se se može dodati jedna jedina medijala, samo u stepenu samerljiva sa celom duži, i koja, zajedno sa celom duži, obuhvata racionalan pravougaonik.
81.
Drugoj medijalnoj apotomi se može dodati jedna jedina medijala, samo u stepenu samerljiva sa celom duži, i koja, zajedno sa celom duži, obuhvata medijalan pravougaonik.
82.
"Manjoj" se može dodati jedna jedina duž, u stepenu nesamerljiva sa celom, koja, zajedno sa celom, obrazuje racionalan zbir kvadrata na tim dužima, i obuhvata sa njom medijalan pravougaonik.
83.
"Duži koja sa racionalnom obrazuje medijalno" se može dodati jedna jedina duž, u stepenu nesamerljiva sa celom, koja, zajedno sa celom, obrazuje zbir kvadrata na tim dužima medijalan, a obuhvata sa njom provougaonik racionalan.
84.
Duži koja se medijalnom obrazuje celo medijalno se može dodati jedna jedina duž, u stepenu nesamerljiva sa celom, koja zajedno sa celom obrazuje zbir kvadrata na tim dužima medijalan, obuhvata sa njom medijalan dvostruki pravougaonik i pri tome je pomenuti zbir kvadrata nesamerljiv sa tim dvostrukim pravougaonikom.
85.
Naći prvu apotomu.
86.
Naći drugu apotomu.
87.
Naći treću apotomu.
88.
Naći četvrtu apotomu.
89.
Naći petu apotomu.
90.
Naći šestu apotomu.
91.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i prvom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu apotomu.
92.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i drugom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu prvu apotomu medijale.
93.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i trećom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu drugu apotomu medijale.
94.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i četvrtom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini ima za stranu manju (iracionalnost).
95.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i petom apotomom. onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu duž koja se racionalnom obrazuje celo medijalno.
96.
Ako je površina obuhvaćena racionalnom duži i šestom apotomom, onda kvadrat, jednak toj površini, ima za stranu "duž koja sa medijalnom obrazuje medijalno".
97.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na apotomi, ima za širinu prvu apotomu.
98.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na prvoj medijalnoj apotomi, ima za širinu drugu apotomu.
99.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na drugoj medijalnoj apotomi, ima za širinu treću apotomu.
100.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na manjoj (iracionali), ima za širinu četvrtu apotomu.
101.
Pravougaonik konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na "duži koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno" ima za širinu petu apotomu.
102.
Pravougaonik, konstruisan na racionalnoj duži i jednak kvadratu na "duži koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno", ima za širinu šestu apotomu.
103.
Duž samerljiva po dužini sa apotomom je apotoma i to istoga reda.
104.
Duž samerljiva sa medijalnom apotomom je medijalna apotoma i to istoga reda.
105.
Duž samerljiva sa manjom (iracionalom) je manja.
106.
Duž samerljiva sa "duži koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno" je duž koja sa racionalnomobrazuje celo medijalno.
107.
Duž samerljiva sa "duži koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno" i sam je duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno.
108.
Pri oduzimanju medijalne površine od racionalne pojavljuju se dve iracionalne duži, apotoma ili manja.
109.
Pri oduzimanju racionalne površine od medijalne pojavljuju se dve iragionalne duži, prva medijalna apotoma ili duž koja sa racionalnom obrazuje celo medijalno.
110.
Pri oduzimanju od jedne medijalne površine druge medijalne površine, nesamerljive sa prvom, pojavljuju se dve ostale iracionale druga medijalna apotoma ili duž koja sa medijalnom obrazuje celo medijalno.
111.
Apotoma nije isto što i binomijala.
Posledica
Apotoma i iracionale koje joj sleduju nisu iste ni sa medijalom ni među sobom.
112.
Kvadrat na racionalnoj duži, konstruisan na binomijali ima za širinu apotomu, čije su racionale samerljive sa racionalama binomijale i u istoj razmeri, i tako dobivena apotoma je istoga reda kao i binomijala.
113.
Kvadrat na racionalnoj duži, konstruisan na apotomi ima za širinu binomijalu, čije su racionale samerljive sa racionalama apotome i u istoj su razmeri, i tako dobivena binomijala je istoga reda kao i apotoma.
114.
Ako je površina (pravougaonika) obuhvaćena apotomom i binomijalom čije su racionale samerljive sa racionalama apotome i u istoj razmeri, biće strana kvadrata jednakog toj površini racionalna.
Posledica
I usled toga postalo nam je jasno da racionalna površina može biti obuhvaćena iracionalnim dužima. A to je trebalo dokazati.
115.
Od medijale nastaje beskrajno mnogo iracionala i nijedna nije ista ni sa jednom od prethodnih. |